漸近展開(ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion)とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析[1]や特殊関数に対する数値解析[2]など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある[3]。
漸近級数
関数
を定義域が実数の領域で定義された関数とし[注釈 1]、
を
の定義域内の点とする。
関数列
が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。
![{\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531ef6841eb993d31784382092e2408f63d5cbd0)
実数列
が存在して、任意の正整数 n に対し
が成立するとき、
を
の漸近級数といい、
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という[4]。
- 任意の正整数 n、
の定義域内の x に対して
![{\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63b0ff779593781d70fbe62d87ee822000eab59)
- が成立する。
漸近関数列が
または
の形の漸近級数を、漸近冪級数という。
与えられた漸近関数列を用いて、
の漸近級数を得ることを漸近展開といい、
の漸近級数
が存在する場合、
は漸近展開
を持つという。
性質
一意性
任意の関数
に対して、
に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
![{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dd23b4bd37498a827c0dfec0f576181c5c603b)
![{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104afc8bc2179c9ddceabf644e28037cc872e1ae)
しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯1つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。
さらに、漸近級数の各係数は
で与えられる。
和と積
点
の近傍で定義された関数
は、漸近関数列
に対する漸近展開
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
が成立する。
さらに、漸近関数列が
である場合、
が成立する。
項別微分
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列
は各 n に対して、
の近傍で微分可能であり、関数列
が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。
は、
の近傍で微分可能であり、
となる漸近展開を持ち、
が漸近関数列
を用いて漸近展開することができるのであれば
が成立する。
項別積分
とし、
の漸近展開を
とする。定積分
が各 n に対して存在するならば、
が存在して、
が成立する。
のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数
を持つ場合、
とする必要がある。
例
スターリングの公式の一般化
ガンマ関数は
という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている[5]。
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):
![{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e37f34360a5076f0134a8fdf42426254733cfcb)
は次の漸近展開を持つ[6][7][8]。
![{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc728ad6dac98d2e16bd66fc235df24fbae79ba)
は複素数の偏角であり、
はポッホハマー記号[9]である。
誤差関数
誤差関数
は、以下の様な漸近展開を持つ[10]。
指数積分
指数積分
の漸近展開は、
で与えられる。
ラプラス変換
を何回でも微分可能な関数としたとき、
のラプラス変換
の漸近展開は、
で与えられる。
微分方程式の解
微分方程式
の解は
で与えられ、
。
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の
で収束しないが[注釈 2]、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。
求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。
調和級数
調和級数は
![{\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb263f57a6083201e36175b26bfcfa16d081d7e7)
という漸近展開を持つ[11]。ここで、
はオイラー・マスケローニ定数、
はベルヌーイ数である。
脚注
[脚注の使い方]
注釈
- ^ 漸近展開は複素数の領域にも拡張することができるが、ここでは定義や結果等を簡単にするため、実数の領域に限定する。
- ^ 各 x に対して、最初の数項(項数は x に依存する)までの和を取れば、積分表示された解のいい近似を与える。
出典
- ^ Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
- ^ Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
- ^ 伏見 p. 22
- ^ 伏見 p. 27
- ^ 伏見 p. 24
- ^ 犬井鉄郎. 特殊関数. 岩波書店.
- ^ 時弘哲治. 工学における特殊関数. 共立出版.
- ^ functions.wolfram.com
- ^ Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
- ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
参考文献
和書
- 大久保, 謙二郎、河野, 實彦『漸近展開』教育出版、東京〈シリーズ新しい応用の数学〉、1976年。ISBN 4316376306。
- ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 上、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997a。ISBN 4431707506。
- ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 下、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997b。ISBN 4431707514。
- 柴田, 正和『漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法』森北出版、東京、2009年。ISBN 9784627076310。
- 伏見康治「確率論及統計論」第I章 数学的補助手段 3節 漸近展開 ISBN 9784874720127 https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204
洋書
- Bleistein, N., & Handelsman, R. A. (1986). Asymptotic expansions of integrals. Courier Corporation.
- Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. en:Springer Science & Business Media.
- Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
- Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique . en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
- Erdélyi, A. (1956). Asymptotic expansions. Courier Corporation.
- Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
- Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press.
関連項目
典拠管理データベース: 国立図書館 ![ウィキデータを編集](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) | - フランス
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