微分積分学において置換積分(ちかんせきぶん, 英語: Integration by substitution)は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。
一変数の置換
不定積分の置換積分
連続関数 f(x) と微分可能関数 x = g(t) について次の等式が成り立つ[注 1]。
導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。
この等式から変換公式の両辺の不定積分は t で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。
また、変換公式は形式的に f(x) = f(g(t)) と dx = g'(t) dt に分けて考えることができる。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。
定積分の置換積分
定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される。
例
例1
u = x2 + 1 で x から u に変数変換する。ここで、du = 2x dx なので x dx = (1/2)du である。また、x = 0 に対して u = 02+ 1 = 1 であり、x = 2 に対して u = 22+ 1 = 5 であるので、
と計算できる。
例2
x = sin(u) で x から u に変数変換する。このとき、dx = cos(u) du である。また、0 = sin(0) および 1 = sin(π/2) であることから積分区間を [0, π/2] に変換すると、この区間において |cos(u)| = cos(u) であることに注意して、
と計算できる。
多変数の置換
x=φ(u,v),y=ψ(u,v)と変数変換すると
ここで、
はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式である。)
これは形式的にと書ける。
脚注
[脚注の使い方]
注釈
- ^ ここでの等号は「定数項(英語版)の違いを除いて等しい」ことを意味する
出典
文献
- 加藤文元『大学教養 微分積分』数研出版〈数研講座シリーズ〉、2019年11月1日。ISBN 978-4-410-15229-0。
関連項目
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積分法 | |
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計算法 | - 部分積分
- 置換積分
- 逆函数の積分(英語版)
- 積分の順序(英語版)
- 三角函数置換(英語版)
- 部分分数分解を通じた積分(英語版)
- 漸化式による積分
- 媒介変数微分を用いた積分(英語版)
- オイラーの公式を用いた積分(英語版)
- 積分記号下の微分(英語版)
- 複素線積分
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確率積分 | - 伊藤積分(英語版)
- ストラトノヴィッチ積分(英語版)
- スコロホッド積分(英語版)
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