胡蝶定理

曖昧さ回避 胡蝶補題については「ツァッセンハウスの補題（英語版）」をご覧ください。

胡蝶定理（こちょうていり、英: butterfly theorem）は、ユークリッド幾何学における古典的な結果である。ウィリアム・ウォレスによってはじめて提起されたとされる[1]。この定理は次のように述べられる[2]:p. 78。

胡蝶定理 ―  弦 PQ の中点を M とし、M を通る二つの弦 AB, CD をひき、AD, BC が PQ と交わる点をそれぞれ X, Y とする。このとき M は XY の中点である。

証明

形式的な証明を以下に述べる。

XX', XX'' をそれぞれ X から AM, DM に下ろした垂線とし、同様に YY', YY'' をそれぞれ Y から BM, CM に下ろした垂線とする。

∠MX'X = ∠MY'Y = 90° かつ ∠X'MX = ∠Y'MY （対頂角）であるから △MXX' と △MYY' は相似。従って次式が成り立つ。

M X M Y = X X ′ Y Y ′ {\displaystyle \mathrm {{MX \over MY}={XX' \over YY'}} }

同様に △MXX'' と △MYY'' も相似であるので、次式が成り立つ。

M X M Y = X X ″ Y Y ″ {\displaystyle \mathrm {{MX \over MY}={XX'' \over YY''}} }

∠AX'X = ∠CY''Y = 90° かつ ∠XAX' = ∠YCY'' （円周角の定理） であるから △AXX' と △CYY'' は相似。従って次式が成り立つ。

X X ′ Y Y ″ = A X C Y {\displaystyle \mathrm {{XX' \over YY''}={AX \over CY}} }

同様に △DXX'' と △BYY' も相似であるので、次式が成り立つ。

X X ″ Y Y ′ = D X B Y {\displaystyle \mathrm {{XX'' \over YY'}={DX \over BY}} }

以上の式より

( M X M Y ) 2 = X X ′ Y Y ′ X X ″ Y Y ″ {\displaystyle \mathrm {\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''}} }
= A X ⋅ D X C Y ⋅ B Y {\displaystyle \mathrm {\qquad \qquad \;={AX\cdot DX \over CY\cdot BY}} }
= P X ⋅ Q X P Y ⋅ Q Y {\displaystyle \mathrm {\qquad \qquad \;={PX\cdot QX \over PY\cdot QY}} } 　（∵方べきの定理）
= ( P M − X M ) ⋅ ( M Q + X M ) ( P M + M Y ) ⋅ ( Q M − M Y ) {\displaystyle \mathrm {\qquad \qquad \;={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)}} }
= ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ( P M ) 2 − ( M Y ) 2 ( ∵ P M = M Q ) {\displaystyle \mathrm {\qquad \qquad \;={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}\quad (\because PM=MQ)} }

となり、ゆえに

( M X ) 2 ( M Y ) 2 = ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ( P M ) 2 − ( M Y ) 2 {\displaystyle \mathrm {{(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}} }

であるから、MX = MY 即ち M が XY の中点であることが従う。

このほか射影幾何学を用いた証明も存在する[3][4]。

脚注

  1. ^ “William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem”. www.cut-the-knot.org. 2024年6月21日閲覧。
  2. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  3. ^ [1], problem 8.
  4. ^ Martin Celli (2016). “A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings”. Forum Geometricorum (Volume 16): 337-338. https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf. 

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Butterfly Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).