Engel-expansie

De engel-expansie of engel-ontwikkeling van een positief reëel getal ${\displaystyle x}$ is de niet-dalende rij positieve gehele getallen ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ waarvoor

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\ldots ={\frac {1}{a_{1}}}\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\ldots \right)\right)\right)}$

en

${\displaystyle 1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots }$

De engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.^[1]

Elk positief rationaal getal heeft een unieke eindige en een daarvan afgeleide unieke oneindige engel-ontwikkeling. Een positief irrationaal getal heeft een unieke oneindige engel-ontwikkeling. De eindige engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.

Berekening

Het is alleen interessant de engel-expansie te berekenen voor getallen tussen 0 en 1, aangezien de expansie begint met een rij 1-en ter lengte van het gehele deel van het getal. Dat blijkt overigens ook uit het algoritme.

Voor ${\displaystyle 0<x<1}$ wordt ${\displaystyle a_{1}}$ bepaald door de eis dat:

${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}\leq x<{\frac {1}{a_{1}-1}}}$,

wat betekent dat:

${\displaystyle a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{x}}\right\rceil }$

Het volgende getal ${\displaystyle a_{2}}$ volgt analoog uit de eis:

${\displaystyle {\frac {1}{a_{2}}}\leq a_{1}x-1<{\frac {1}{a_{2}-1}}}$

Dit gaat zo verder en leidt tot het volgende algoritme.

De engel-expansie van een gegeven getal ${\displaystyle x}$ kan men als volgt berekenen:

• Neem ${\displaystyle u_{1}=x}$;
• bereken iteratief voor ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil }$ en

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

Hierin is ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$ de ceiling van ${\displaystyle r}$.

• Het algoritme eindgt als ${\displaystyle u_{i}}$ gelijk wordt aan 0.

Berekeningsvoorbeeld

De engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:

${\displaystyle u_{1}=1{,}3}$

${\displaystyle a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}3}}\right\rceil =1}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}3\cdot 1-1=0{,}3}$

${\displaystyle a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}3}}\right\rceil =4}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}3\cdot 4-1=0{,}2}$

${\displaystyle a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}2}}\right\rceil =5}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}2\cdot 5-1=0}$

Hier stopt het algoritme en de engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:

${\displaystyle 1{,}3={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 4}}+{\frac {1}{1\cdot 4\cdot 5}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}}$

Engel-ontwikkeling voor rationale getallen

Het algoritme voor de berekening van de engel-ontwikkeling getal bepaalt de volgende term ${\displaystyle u_{i+1}}$ als volgt. Als ${\displaystyle u_{i}=a/b}$, dan is ${\displaystyle u_{i+1}=(-b{\bmod {a}})/b}$. De teller In de resterende breuk wordt steeds kleiner en het algoritme stopt dus na een eindig aantal stappen.

Uit deze eindige ontwikkeling kan een oneindige afgeleid worden. Vanwege de relatie

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{k}}}}$

kan het laatst bepaalde getal ${\displaystyle n}$ in de ontwikkeling vervangen worden door een oneindige rij getallen ${\displaystyle n+1}$.

Zo is bijvoorbeeld

${\displaystyle 1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\ldots \}}$

Dit is te vergelijken met de voorstelling van een rationaal getal met eindig veel decimalen als het decimale getal met de laatste decimaal verminderd met 1 en gevolgd door oneindig veel cijfers 9.

Voorbeelden

De engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:

${\displaystyle \pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\ldots \}}$ - rij A006784 in OEIS

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\ldots \}}$ - rij A028254 in OEIS

${\displaystyle e=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\ldots \}}$ - rij A000027 in OEIS

De engel-expansie van het getal ${\displaystyle e}$ is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:

${\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\ldots \}}$

Zie ook

• Pierce-expansie, analoog aan de engel-expansie maar met afwisselend positieve en negatieve termen.
• Sylvester-expansie, een andere expansie met stambreuken.

Externe links

• Wolfram MathWorld: Engel expansion

Bronnen, noten en/of referenties ↑ F. Engel, "Entwicklung der Zahlen nach Stammbrüchen", Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmänner in Marburg, 1913, blz. 190-191.