Goniometrische functie

Een goniometrische functie, ook wel trigonometrische functie genoemd, is een oorspronkelijk in de goniometrie gedefinieerde functie van een hoek die een verband legt tussen een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek en de verhouding van bepaalde zijden van die driehoek. In de wiskunde zijn deze functies gegeneraliseerd. De inverse van de goniometrische functie is de cyclometrische functie.

De meest gebruikte goniometrische functies zijn:

  • sinus (sin)
  • cosinus (cos)
  • tangens (tan of tg)
  • cotangens (cot)
  • secans (sec)
  • cosecans (csc of cosec)

In de onderstaande tabel staan enkele verbanden tussen de verschillende goniometrische functies.

Functie Afkorting x {\displaystyle x} in radialen
Sinus sin sin ⁡ x = cos ⁡ ( π 2 − x ) = 1 csc ⁡ x {\displaystyle \sin x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\csc x}}}
Cosinus cos cos ⁡ x = sin ⁡ ( π 2 − x ) = 1 sec ⁡ x {\displaystyle \cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\sec x}}}
Tangens tan of tg tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x   = cot ⁡ ( π 2 − x ) = 1 cot ⁡ x {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}\ =\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\cot x}}}
Cotangens cot cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x = tan ⁡ ( π 2 − x ) = 1 tan ⁡ x {\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\tan x}}}
Secans sec sec ⁡ x = csc ⁡ ( π 2 − x ) = 1 cos ⁡ x {\displaystyle \sec x=\csc \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}
Cosecans csc
(of cosec) 		csc ⁡ x = sec ⁡ ( π 2 − x ) = 1 sin ⁡ x {\displaystyle \csc x=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}

Oude goniometrische functies

Functie Afkorting Waarde
Sinus versus versin x {\displaystyle {\textrm {versin}}\,x}

vers x {\displaystyle {\textrm {vers}}\,x}

1 − cos ⁡ x {\displaystyle 1-\cos x\,}
Cosinus versus coversin x {\displaystyle {\textrm {coversin}}\,x}

cover x {\displaystyle {\textrm {cover}}\,x}

1 − sin ⁡ x {\displaystyle 1-\sin x\,}
Halve sinus versus haversin x {\displaystyle {\textrm {haversin}}\,x}

hav x {\displaystyle {\textrm {hav}}\,x}

v e r s i n x 2 {\displaystyle {\tfrac {versin\,x}{2}}\,}
Halve cosinus versus
Cohaversinus
Havercosinus 		hacoversin x {\displaystyle {\textrm {hacoversin}}\,x}

hacov x {\displaystyle {\textrm {hacov}}\,x}

c o v e r s i n x 2 {\displaystyle {\tfrac {coversin\,x}{2}}\,}
Exsecans exsec x {\displaystyle {\textrm {exsec}}\,x\,} sec ⁡ x − 1 {\displaystyle \sec x-1\,}
Excosecans excsc x {\displaystyle {\textrm {excsc}}\,x\,} csc ⁡ x − 1 {\displaystyle \csc x-1\,}

Sommige goniometrische functies zijn in de loop der tijden in onbruik geraakt:

Goniometrie in een driehoek

Rechthoekige driehoek met aanduiding van de verschillende zijden ten opzichte van de hoek α.

In een rechthoekige driehoek geldt:

sinus {\displaystyle {\text{sinus}}} = overstaande zijde schuine zijde {\displaystyle {\frac {\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}}} = o s {\displaystyle {\frac {o}{s}}}
cosinus {\displaystyle {\text{cosinus}}} = aanliggende zijde schuine zijde {\displaystyle {\frac {\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}}}} = a s {\displaystyle {\frac {a}{s}}}
tangens {\displaystyle {\text{tangens}}} = overstaande zijde aanliggende zijde {\displaystyle {\frac {\text{overstaande zijde}}{\text{aanliggende zijde}}}} = o a {\displaystyle {\frac {o}{a}}}
cotangens {\displaystyle {\text{cotangens}}} = aanliggende zijde overstaande zijde {\displaystyle {\frac {\text{aanliggende zijde}}{\text{overstaande zijde}}}} = 1 tangens {\displaystyle {\frac {1}{\text{tangens}}}}
secans {\displaystyle {\text{secans}}} = schuine zijde aanliggende zijde {\displaystyle {\frac {\text{schuine zijde}}{\text{aanliggende zijde}}}} = 1 cosinus {\displaystyle {\frac {1}{\text{cosinus}}}}
cosecans {\displaystyle {\text{cosecans}}} = schuine zijde overstaande zijde {\displaystyle {\frac {\text{schuine zijde}}{\text{overstaande zijde}}}} = 1 sinus {\displaystyle {\frac {1}{\text{sinus}}}}

Een ezelsbruggetje voor de eerste drie is soscastoa.

Zie ook