Meetkundige reeks

Een meetkundige reeks in de wiskunde is een reeks waarvan elke term kan worden gevonden door de daaraan voorafgaande term te vermenigvuldigen met een factor ${\displaystyle r}$. De termen van de reeks vormen dus een meetkundige rij.

De algemene vorm van de ${\displaystyle n}$-de partieelsom (of ${\displaystyle n}$-de partiële som; dat is de som van de eerste ${\displaystyle n}$ termen van de reeks) is:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}=a\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}}$

behalve als ${\displaystyle r=1}$ is, want dan is de som gelijk aan ${\displaystyle a\cdot n}$.

Bovenstaande relatie kan als volgt worden aangetoond.

De ${\displaystyle n}$-de partieelsom ${\displaystyle s_{n}}$ is:

${\displaystyle s_{n}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}}$

En dus geldt ook, door beide leden met ${\displaystyle r}$ te vermenigvuldigen:

${\displaystyle r\cdot s_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}}$

Aftrekking van de linker- en rechterleden van de laatste twee vergelijkingen geeft:

${\displaystyle (1-r)\cdot s_{n}=a\cdot (1-r^{n})}$

zodat:

${\displaystyle s_{n}=a\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}}$

Als de gehele reeks wordt beschouwd, dus met oneindig veel termen en met ${\displaystyle |r|<1}$, dan is de reeks convergent. Gevolg:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\ldots ={\frac {a}{1-r}}}$

Immers, indien ${\displaystyle |r|<1}$ is, dan gaat de term ${\displaystyle r^{n}}$ in de teller van ${\displaystyle n}$-de partieelsom naar nul als ${\displaystyle n}$ naar oneindig gaat.

Als ${\displaystyle |r|\geq 1}$ is, dan is de reeks divergent.

De formules gelden ook met complexe getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle r}$.

Zowel het bewijs van het kenmerk van d'Alembert als van het kenmerk van Cauchy is gebaseerd op de convergentie-eigenschap van meetkundige reeksen. In beide gevallen wordt de te onderzoeken reeks vergeleken met een meetkundige reeks.