Metriseerbaarheidsstelling van Urysohn

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, geeft de metriseerbaarheidsstelling van Urysohn de voorwaarden aan, waaronder een topologische ruimte ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ metriseerbaar is, dat wil zeggen onder welke voorwaarden er een metriek op de onderliggende verzameling ${\displaystyle X}$ bestaat die de topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ induceert. Het belangrijkste idee is zodanige voorwaarden aan ${\displaystyle X}$ te stellen, dat het mogelijk wordt ${\displaystyle X}$ in een metrische ruimte ${\displaystyle Y}$ in te bedden door ${\displaystyle X}$ door middel van een homeomorfisme te identificeren met een deelruimte van ${\displaystyle Y}$. De stelling is geformuleerd door de Russische wiskundige Pavel Urysohn.

De stelling kan als volgt worden samengevat:
Voor een hausdorff-ruimte die voldoet aan het tweede aftelbaarheidsaxioma, zijn regulariteit, volledige regulariteit, normaliteit en metriseerbaarheid equivalente eigenschappen.

Er geldt zelfs:
Voor een ${\displaystyle T_{1}}$-ruimte ${\displaystyle X}$ zijn de volgende voorwaarden equivalent:

1. ${\displaystyle X}$ is een reguliere ruimte en voldoet aan het tweede aftelbaarheidsaxioma.
2. ${\displaystyle X}$ is een separabele en metriseerbare ruimte.
3. ${\displaystyle X}$ kan ingebed worden in de hilbert-kubus ${\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}}$.

• (en) The Urysohn metrization theorem (Metriseerbaarheidsstelling van Urysohn), Philip Foth, 2005