Negatief-binomiale verdeling

In de kansrekening is de negatief-binomiale verdeling een discrete kansverdeling die de kansen geeft op de benodigde aantallen onafhankelijke pogingen met steeds kans ${\displaystyle p}$ op succes, om een vastgelegd aantal successen ${\displaystyle m}$ te behalen.

In een serie onafhankelijke bernoulli-pogingen met succeskans ${\displaystyle p}$ is bij het wachten op het eerste succes het benodigde aantal experimenten geometrisch verdeeld. Gaat men door tot men ${\displaystyle m}$ successen heeft, dan is het aantal benodigde experimenten, ${\displaystyle N}$, een stochastische variabele met als verdeling de negatief-binomiale verdeling, waarvan de kansfunctie voor ${\displaystyle n=m,m+1,m+2,m+3,\ldots }$ gegeven wordt door:

${\displaystyle P(N=n)={\tbinom {n-1}{m-1}}p^{m}(1-p)^{n-m}}$

Eenvoudig is in te zien dat deze kans ontstaat doordat er m successen moeten zijn, elk met kans ${\displaystyle p}$, en van de ${\displaystyle n-1}$ pogingen die aan het laatste succes voorafgaan er ${\displaystyle n-m}$ mislukkingen, elk met kans ${\displaystyle 1-p}$. De binomiaalcoëfficiënt geeft het aantal mogelijkheden voor de verdeling van de ${\displaystyle m-1}$ successen over de ${\displaystyle n-1}$ pogingen voorafgaand aan de laatste.

Voorbeeld

Beschouw een gewone dobbelsteen, die herhaaldelijk geworpen wordt tot voor de 10e keer "1" verschijnt. Het benodigde aantal worpen is negatief-binomiaal verdeeld met parameters ${\displaystyle m=10}$ en succeskans ${\displaystyle p=1/6}$, en waardenbereik {10, 11, 12, ...}.

Verwachtingswaarde en variantie

De verwachtingswaarde ${\displaystyle \operatorname {E} N}$ en de variantie ${\displaystyle \mathrm {var} (N)}$ van een negatief-binomiaal verdeelde stochastische variabele ${\displaystyle N}$ met parameters ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle p}$ zijn:

${\displaystyle \operatorname {E} (N)={\frac {m}{p}}}$

${\displaystyle \mathrm {var} (N)=m{\frac {1-p}{p^{2}}}}$

Speciaal geval

De geometrische verdeling is een speciaal geval van de negatief-binomiale verdeling, met parameter m = 1.