Pseudo-euclidische ruimte
Een pseudo-euclidische ruimte is een eindige-dimensionale reële vectorruimte samen met een niet-gedegenereerde[1], niet-definiete kwadratische vorm. Zo'n kwadratische vorm kan, na een verandering in coördinaten, geschreven worden als
waarin , het getal de dimensie van de ruimte is, en .
Een zeer belangrijke pseudo-euclidische ruimte is de minkowski-ruimte, het wiskundige kader, waarin Albert Einsteins speciale relativiteitstheorie het meest natuurlijk in wordt geformuleerd. Voor een minkowski-ruimte geldt dat en . Voor echte euclidische ruimten geldt dat , zodat de kwadratische vorm dus positief-definiet en niet indefiniet is.
Een andere pseudo-euclidische ruimte is het vlak , dat bestaat uit de split-complexe getallen, uitgerust met de kwadratische vorm
- .
In een pseudo-euclidische ruimte wordt de grootte van een vector gedefinieerd als . Anders dan in een euclidische ruimte, zijn er in een pseudo-euclidische ruimte vectoren ongelijk aan de nulvector maar met grootte nul, en ook vectoren met negatieve grootte.
Geassocieerd met de kwadratische vorm is het pseudo-euclidische inwendig product
Deze bilineaire vorm is symmetrisch, maar niet positief-definiet, zodat het geen "echt" inwendig product is.
Een interessante eigenschap van de pseudo-euclidische ruimte is dat er in deze ruimte niet alleen een eenheidsbol is, maar ook een tegenbol . Deze hyperoppervlakken zijn in werkelijkheid gegeneraliseerde hyperboloïden.
Zie ook
- Pseudo-riemann-variëteit
Voetnoten
- ↑ "Niet gedegenereerd" komt er hier op neer dat er geen termen ontbreken.
Referenties
- (en) Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607.
- (en) Novikov, S. P., Fomenko, A.T.; [uit het Russisch in het Engels vertaald door M. Tsaplina] (1990). Basic elements of differential geometry and topology. Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792310098.