Reëel deel

Van een complex getal ${\displaystyle z}$, weergegeven met de reële getallen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ als ${\displaystyle z=x+iy}$, heet ${\displaystyle x}$ het reële deel van ${\displaystyle z}$. Wordt ${\displaystyle z}$ voorgesteld als het geordende paar ${\displaystyle z=(x,y)}$ dan is het eerste element van het paar het reële deel van ${\displaystyle z}$. Een complex getal heeft dus een reëel deel en een imaginair deel.

Het reële deel van ${\displaystyle z}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$ of ook als ${\displaystyle \Re (z),}$ waarin ${\displaystyle \Re }$ de hoofdletter R is in Fraktur.

Eigenschappen

De complexe functie die het complexe getal ${\displaystyle z}$ afbeeldt op zijn reële deel, is niet holomorf.

Met behulp van de complex geconjugeerde ${\displaystyle {\bar {z}}}$ van ${\displaystyle z}$ kan het reële deel van ${\displaystyle z}$ geschreven worden als

${\displaystyle \mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}}$.

Voor de polaire vorm

${\displaystyle z=r\,e^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\,\sin \varphi )}$

geldt

${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=r\,\cos \varphi }$.

Voorbeelden

• Berekeningen met echte periodieke functies, zoals wisselstromen en elektromagnetische velden worden vereenvoudigd door ze als reële delen van complexe functies op te schrijven, met een fasor.
• Een sinusoïde kan op dezelfde manier als het reële deel van een complexe ${\displaystyle e}$-macht worden geschreven. Bijvoorbeeld:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(n\theta )+\cos((n-2)\theta )&=\mathrm {Re} \left(e^{in\theta }+e^{i(n-2)\theta }\right)\\&=\mathrm {Re} \left(\left(e^{i\theta }+e^{-i\theta }\right)\cdot e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=\mathrm {Re} \left(2\cos(\theta )\cdot e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=2\cos(\theta )\cdot \mathrm {Re} \left(e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=2\cos(\theta )\cdot \cos((n-1)\theta ).\end{aligned}}}$