Stelling van Weill

De stelling van Weill is een stelling in de Euclidische meetkunde over bicentrische veelhoeken, dat wil zeggen veelhoeken met zowel een ingeschreven als een omgeschreven cirkel.

Stelling

Gegeven een veelhoek met ${\displaystyle n}$ hoeken en een ingeschreven cirkel C en omgeschreven cirkel K. Volgens de porisme van Poncelet zijn er oneindig veel ${\displaystyle n}$-hoeken met C en K als ingeschreven resp. omgeschreven cirkel. De raakpunten van de zijden van deze ${\displaystyle n}$-hoeken met de ingeschreven cirkel vormen ook weer oneindig veel ${\displaystyle n}$-hoeken. De stelling van Weill stelt dat al deze veelhoeken hetzelfde zwaartepunt hebben. Dit vaste zwaartepunt heet het punt van Weill.

In een driehoek

Elke driehoek heeft een punt van Weill. Dit is het zwaartepunt van de raakpuntendriehoek. Het punt van Weill van een driehoek heeft Kimberlingnummer X(354).

Laat W het punt van Weill zijn, O het middelpunt van de omgeschreven cirkel en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel. De punten O, I en W zijn collineair, en

${\displaystyle \mathrm {\frac {WI}{IO}} ={\frac {r}{3R}}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{6abc}}}$

waarin ${\displaystyle r}$ de straal van de ingeschreven cirkel is en ${\displaystyle R}$ de straal van de omgeschreven cirkel.

Barycentrische coördinaten voor het punt van Weill zijn

${\displaystyle {\big (}a((b-c)^{2}-a(b+c)):b((c-a)^{2}-b(a+c)):c((a-b)^{2}-c(a+b)){\big )}}$

Externe links

• MathWorld: Weill's Theorem
• Weill Point