Stelling van Zsigmondy

De stelling van Zsigmondy is een stelling uit de getaltheorie, gepubliceerd door de Oostenrijks-Hongaarse wiskundige Karl Zsigmondy (1867-1925) in 1892.^[1]

De stelling kan als volgt worden geformuleerd:^[2]

Als ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle m}$ gehele getallen zijn groter dan 1, bestaat er steeds een priemgetal ${\displaystyle p}$ dat een deler is van ${\displaystyle a^{m}-2}$ maar geen deler is van ${\displaystyle a^{i}-2}$ voor ${\displaystyle i=1,\ldots ,m-1}$, met uitzondering van deze gevallen:

als ${\displaystyle a=2}$ en ${\displaystyle m=6}$, of

als ${\displaystyle m=2}$ en ${\displaystyle a+1}$ is een macht van 2.

Men noemt een dergelijke priemfactor een (priem)getal van Zsigmondy.

Deze stelling wordt gebruikt in de theorie van eindige groepen.

De stelling kan gegeneraliseerd worden:

Als ${\displaystyle a>b}$ twee gehele getallen groter dan 1 zijn die onderling relatief priem zijn, en ${\displaystyle m}$ is een geheel getal groter dan 1, dan bestaat er steeds een priemgetal ${\displaystyle p}$ dat een deler is van ${\displaystyle a^{m}-b^{m}}$, maar geen deler is van ${\displaystyle a^{i}-b^{i}}$ voor ${\displaystyle i=1,\ldots ,m-1}$, met uitzondering van deze gevallen:

${\displaystyle a=2,\ b=1}$ en ${\displaystyle m=6}$, of

${\displaystyle a+b}$ is een macht van twee en ${\displaystyle m=2}$.

Als ${\displaystyle b=1}$ krijgt men de eerste vorm van de stelling.

Voorbeelden

• Als ${\displaystyle a=2}$ (en ${\displaystyle b=1}$) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor ${\displaystyle m=1,2,3,\ldots }$ gegeven door de rij:

1, 3, 7, 5, 31, 1, 127, 17, 73, 11, 2047, 13, 8191, 43, ...^[3]

(voor ${\displaystyle m=1}$ en 6 is er dus geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de eerste uitzondering op de stelling)

• Als ${\displaystyle a=3}$ (en ${\displaystyle b=1}$) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor ${\displaystyle m=1,2,3,\ldots }$ gegeven door de rij:

2, 1, 13, 5, 121, 7, 1093, 41, 757, 61, 88573, 73, 797161, ...^[4]

(voor ${\displaystyle m=2}$ is er geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de tweede uitzondering op de stelling)