Viervlak

viervlak
tetraëder
Viervlak
Type platonisch lichaam
Zijden gelijkzijdige driehoeken
Zijvlakken 4
Hoekpunten 4
Ribben 6
Zijvlakken per hoekpunt 3
Ribben per zijvlak 3
Duaal veelvlak zelf-duaal
Opengesneden viervlak
De vijf regelmatige veelvlakken of platonische lichamen zijn: viervlak · kubus · regelmatig achtvlak · regelmatig twaalfvlak · regelmatig twintigvlak

Een viervlak of tetraëder is een veelvlak met vier vlakken in de vorm van een driehoek, vier hoekpunten en zes ribben. Het is de 3-simplex en een piramide met een driehoek als grondvlak.

Platonisch lichaam

Een viervlak van gelijkzijdige driehoeken heet een regelmatig viervlak, maar vaak wordt onder een viervlak ook een regelmatig viervlak verstaan. Het regelmatige viervlak is een van de vijf mogelijke regelmatige veelvlakken en past precies in een kubus, wanneer twee kruisende diagonalen van twee tegenoverliggende zijvlakken van de kubus als twee tegenoverliggende ribben van het viervlak worden genomen. Het regelmatige viervlak is een deltaëder, is zijvlaktransitief en heeft tetrahedrale symmetrie.

Er ontstaat een afgeknotte tetraëder door de hoekpunten af te knotten tot een derde deel van de ribben. De vier verwijderde delen zijn dan ook weer een viervlak.

Kristallografie

Het viervlak en het regelmatige achtvlak zijn de twee bouwstenen van de hexagonale dichtste bolstapeling. Er zijn verschillende ruimtevullingen met regelmatige viervlakken mogelijk.

Diamant heeft een kubisch vlakgecentreerd rooster met een dubbel aantal atomen, vier regelmatige viervlakken van koolstofatomen per eenheidscel.

Alle moleculen met een sp3-hybridisatie, zoals methaan (CH4) en siliciumoxide (SiO4), hebben de structuur van een viervlak: de koolstof in het middelpunt en de vier waterstofatomen op de vier hoekpunten van het viervlak.

Sommige polymeren, meer bepaald de harsen, hebben per monomeer vier reactiepunten, plaatsen waar een verbinding met een andere monomeer mogelijk is. Deze polymeren, bijvoorbeeld bakeliet, vormen een 3D-structuur, opgebouwd uit viervlakken.

Afbeeldingen

  • draaiend viervlak
    draaiend viervlak
  • viervlak in een kubus
    viervlak in een kubus
  • eenheidscel van diamant met vier viervlakken
    eenheidscel van diamant met vier viervlakken
  • moleculen met een sp3-hybridisatie
    moleculen met een sp3-hybridisatie
  • hexagonale dichtste stapeling
    hexagonale dichtste stapeling
  • dobbelsteen in de vorm van een viervlak
    dobbelsteen in de vorm van een viervlak

Formules

Maten van een regelmatig viervlak met riblengte z
inhoud V = z 3 12 2 {\displaystyle V={\frac {z^{3}}{12}}{\sqrt {2}}}
oppervlakte A = z 2 3 {\displaystyle A=z^{2}{\sqrt {3}}}
straal van de omgeschreven bol
rakend aan de hoekpunten 		R = z 4 6 = 3 ρ {\displaystyle R={\frac {z}{4}}{\sqrt {6}}=3\rho }
straal van de bol
rakend aan de ribben 		r = z 4 2 {\displaystyle r={\frac {z}{4}}{\sqrt {2}}}
straal van de ingeschreven bol
rakend aan de vlakken 		ρ = z 12 6 {\displaystyle \rho ={\frac {z}{12}}{\sqrt {6}}}
piramidehoogte k = z 3 6 = ρ + R {\displaystyle k={\frac {z}{3}}{\sqrt {6}}=\rho +R}
verhouding van de inhoud V
tot de inhoud van omgeschreven bol 		V V O B = 2 9 π 3 {\displaystyle {\frac {V}{V_{OB}}}={\frac {2}{9\pi }}{\sqrt {3}}}
hoek α tussen twee vlakken
≈ 70° 31′ 44″ of 70,5288° 		cos ⁡ α = 1 3 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{3}}}
hoek β tussen vlak en rib
≈ 54° 44′ 8″ of 54,7356° 		tan ⁡ β = 2 {\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {2}}}
Mediabestanden
Zie de categorie Viervlak van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.