Abels konvergensteorem

Abels konvergensteorem i matematikk relaterer grenseverdien for en potensrekke til summen av koeffisientene. Teoremet er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Teorem

La a = {a_i: i ≥ 0} være en vilkårlig følge av reelle eller komplekse tall, og la

${\displaystyle G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\!}$

være potensrekken med koeffisientene a. Anta at rekken ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\!}$ konvergerer. Da

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1^{-}}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}.\qquad (*)\!}$

I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene a_i er reelle og a_i ≥ 0 for alle i, vil uttrykket overfor ${\displaystyle (*)}$ gjelde også når rekken ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\!}$ ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av uttrykket lik +∞.

Bemerkning

I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis r er et tilfeldig reelt tall ulik null og rekken ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}\!}$ konvergerer for dette tallet, da følger det at

${\displaystyle \lim _{z\to r}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}\!}$

forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, fra venstre hvis r er positiv og fra høyre hvis r er negativ.

Eksempler

La ${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x).}$ Da ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$

La ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x).}$ Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ konvergerer, og at

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}$

Anvendelsesområder

Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensrekke mens dets argument (dvs. z) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius R, for potensrekke er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomialrekkene.

G_a(z) kalles den genererende funksjon for sekvensen a. Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner. Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.

Beslektede konsepter

Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende rekker og deres summasjonsmetoder inneholder mange teoremer av abelsk type og av tauberisk type.

Eksterne lenker

• Abel summeringsevne på PlanetMath (en mer generell redegjørelse for Abelske teoremer av denne typen)
• A.A. Zakharov (2001), Abel summeringsmetode, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104