Adveksjonsligningen

Adveksjonsligningen er en partiell differensialligning som styrer bevegelsen til en konservert skalar når den blir advektert av et kjent vektorfelt. Den blir utledet ved å bruke skalaren sin bevaringslov sammen med Gauss' teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Dette beskriver det som skjer når et bevart kvantum (skalaren), for eksempel varme, vann, mudder ol. transporteres med og spres i (adekveres av) en strømning (vektorfeltet) i f.eks. vann eller luft. Spesifikt brukes adveksjonsligningen ofte for å beskrive den horisontale transport av varme og fuktighet som foregår i luftmasser.

Det beste eksempel på dette er kanskje transport av oppløst salt i vann.

Matematisk kan en uttrykke adveksjonsligningen som:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0}$

der ∇· er divergensen. ${\displaystyle \psi }$ er skalæren og ${\displaystyle \mathbf {u} }$ er vektorfeltet. Ofte tenker en seg at hastighetsfeltet er solenoidalt, altså er ${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {u} }=0}$. Når dette er oppfylt blir ligningen over redusert til

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.}$

Hvis strømmen er laminær, er ${\displaystyle {\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0}$ som viser at ${\displaystyle \psi }$ er konstant langs en strømlinje.

Adveksjonsligningen er ikke enkel å løse numerisk: Systemet er en hyperbolsk partiell differensialligning, og interesseområdet er vanligvis diskontinuerlige «sjokkløsninger» (som er svært vanskelig å takle for numeriske skjema).

Selv med konstant fart og et endimensjonalt rom er systemet vanskelig å simulere (det er en standardtest for adveksjonsskjema som kalles grisehusproblemet). Ligningen over blir da:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0}$

der ${\displaystyle \psi =\psi (x,t)}$.

Ifølge Zan [2] kan en skjevsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løsningen.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {u} }\cdot \nabla {\mathbf {u} }+{\frac {1}{2}}\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })}$

der ${\displaystyle \nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })}$ er en vektor med komponenter ${\displaystyle [\nabla ({\mathbf {u} }u_{x}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{y}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{z})]}$ der en har brukt notasjonen ${\displaystyle {\mathbf {u} }=[u_{x},u_{y},u_{z}]}$.

Siden skjevsymmetri bare medfører komplekse egenverdier, reduserer denne formen «oppblåsning» og «spektral blokkering», som en ofte får i numeriske løsninger med skarpe diskontinuiteter (se Boyd [1] pp. 213).

Andre størrelser

Adveksjonslignen gjelder også om størrelsen som blir advektert er representert ved en tetthetsfunksjon i hvert punkt, men å regne ut diffusjonene er da vanskeligere.

Se også

• Adveksjon
• Kontinuitetsligningen
• Couranttall
• Partiell differensialligning

Kilder

• Boyd, J.P.: 2000, Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition, Dover, New York
• Zang, T: 1991, On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulations, Applied Numerical Mathematics,7,27-40.