Hypsometrisk ligning

Hypsometrisk ligning er en ligning som gir forholdet mellom lufttrykket og tykkelsen av et atomsfærelag så lenge man har konstant temperatur og gravitasjon. Ligningen utledes av den hydrostatiske ligningen og den ideelle gassloven.

${\displaystyle \ h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot T}{g}}\cdot ln\left[{\frac {P_{1}}{P_{2}}}\right]}$

der:

${\displaystyle \ h}$ = Tykkelsen på laget i meter

${\displaystyle \ z}$ = Geopotensiell høyde i meter

${\displaystyle \ R}$ = Gasskonstant for tørr luft

${\displaystyle \ T}$ = Temperatur i kelvin

${\displaystyle \ g}$ = Tyngdeakselerasjon

${\displaystyle \ P}$ = Trykk

I meteorologi er ${\displaystyle P_{1}}$ og ${\displaystyle P_{2}}$ isobarflater og T er middeltemperaturen i laget mellom dem. I høydemåling med Internasjonal Standard Atmosfære blir den hypsometriske ligningen brukt til å regne ut en gitt geopotensiell høyde i isoterme lag i den øvre og lavere stratosfæren.

Utledning

Hydrostatisk likning:

${\displaystyle \ P=\rho gz}$

der ${\displaystyle \ \rho }$ er tetthet, blir brukt som ligning for hydrostatisk ligning, skrevet på differensialform:

${\displaystyle dP=-\rho \cdot g\cdot dz}$

som kombinert med den ideelle gassloven

${\displaystyle \ P=\rho RT}$

for å eliminere ${\displaystyle \ \rho }$ blir:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{P}}=-{\frac {g}{RT}}\,\mathrm {d} z}$

Denne blir integrert fra ${\displaystyle \ z_{1}}$ til ${\displaystyle \ z_{2}}$:

${\displaystyle \ \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} P}{P}}=-\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {g}{RT}}\,\mathrm {d} z}$.

Ved å integrere venstresiden får vi: ${\displaystyle \ln \left({\frac {P(z_{2})}{P(z_{1})}}\right)}$.