Kryterium Dirichleta – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych udowodnione przez Petera Gustawa Dirichleta. Kryterium to może być postrzegane jako szczególny przypadek kryterium Dirichleta zbieżności szeregów funkcyjnych.
Kryterium
Niech
będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5437dbfe8942218a4a6f3d1bae254ac79baa8a6)
- jest ograniczony,
jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do 0,
to szereg
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da4118b971026424454fb80f2458ef9b4cac33)
jest zbieżny[1].
Dowód
Niech
oznacza ciąg sum częściowych ciągu
tj.
![{\displaystyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\quad (n\in \mathbb {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33fa692a8c02d4a7afcf28f0107330dc123457d)
Z ograniczności ciągu
wynika istnienie takiej liczby
że dla każdego
![{\displaystyle |s_{n}|\leqslant r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387bb078ff374cf607e32a73722a4fc26e8c3489)
Stąd, dla dowolnych liczb naturalnych
zachodzi
| | ![{\displaystyle |a_{n+1}+\ldots +a_{n+k}|=|s_{n+k}-s_{n}|\leqslant |s_{n+k}|+|s_{n}|\leqslant 2r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cafc49a782f962276350833e1cb4ea5eb19b95) | | (1) |
Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy:
![{\displaystyle a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}=(b_{n+1}-b_{n+2})a_{n+1}+(b_{n+2}-b_{n+3})(a_{n+1}+a_{n+2})+\ldots +(b_{n+k-1}-b_{n+k})(a_{n+1}+\ldots +a_{n+k-1})+b_{n+k}(a_{n+1}+\ldots +a_{n+k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60815c8b46ecd3cc63adfb264cff449afffd8891)
Nakładając na obie strony wartość bezwzględną oraz uwzględniając (1) i monotoniczność ciągu
dostajemy
![{\displaystyle |a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}|\leqslant 2r((b_{n+1}-b_{n+2})+(b_{n+2}-b_{n+3})+\ldots +(b_{n+k-1}-b_{n+k})+b_{n+k})=2rb_{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a01bdb52303b3335f043bd939b83404efe908db)
Zatem
![{\displaystyle |a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}|\leqslant 2rb_{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282c8f778800a1294daad8f48761d2432976b8c6)
Niech
Na mocy założenia o zbieżności ciągu
istnieje takie
że dla każdego
![{\displaystyle b_{n}<\varepsilon /2r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233340247f8a7f307045936fd9e97331c778f02b)
Ponieważ powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego
szereg
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da4118b971026424454fb80f2458ef9b4cac33)
spełnia warunek Cauchy’ego.
Przypisy
Bibliografia
- Grigorij MichajłowiczG.M. Fichtenholz Grigorij MichajłowiczG.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966 .
Literatura dodatkowa
- KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, London-Glasgow: Blackie & Son Ltd., 1990 . Brak numerów stron w książce
- KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, Warszawa: PWN, 1961 .
- Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden Analiza matematyczna dla fizyków tom 1: Toruń, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 1994.
Encyklopedie internetowe (twierdzenie):
- Britannica: topic/Dirichlets-test