Condição de energia

Em teorias clássicas de campo relativísticas da gravitação, particularmente na relatividade geral, uma condição de energia é um de vários critérios alternativos que podem ser aplicados para o teor de matéria da teoria, quando se é ou não possível ou desejável especificar este conteúdo explicitamente. O esperado é, então, que qualquer teoria da matéria razoável irá satisfazer esta condição, ou pelo menos vai preservar a condição se ela é satisfeita pelas condições de partida.[1][2]

Na relatividade geral, condições de energia são muitas vezes utilizadas (e necessárias) em provas de vários teoremas importantes sobre buracos negros, como o teorema da calvície ou as leis da termodinâmica de buracos negros.[3][4][5][6]

Formulação matemática

Dentre as diversas condições de energia já usadas, as mais comuns são as seguintes:

Condição de energia nula

A condição de energia nula impõe que para qualquer vetor tipo-nulo k → {\displaystyle {\vec {k}}} dirigido para o futuro, temos

ρ = T a b k a k b ≥ 0. {\displaystyle \rho =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}

Condição de energia fraca

A condição de energia fraca estipula que qualquer vetor tipo-tempo X → , {\displaystyle {\vec {X}},} a densidade de energia de qualquer distribuição de matéria, medida por qualquer observador no espaço-tempo, deve ser sempre não negativa, isto é,

ρ = T a b X a X b ≥ 0. {\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}

Condição de energia dominante

A condições de energia dominante afirma que, além da condição de energia fraca ser válida, é necessário que T a b X a {\displaystyle T^{ab}X_{a}} seja tipo-tempo ou tipo-nulo, ou seja,

T a b T b c X a X c ≤ 0. {\displaystyle T_{ab}{T^{b}}_{c}X^{a}X^{c}\leq 0.}

Isso implica que a massa-energia observada nunca pode fluir mais rápida do que a luz no vácuo.

Condição de energia forte

A condição de energia forte estipula que para cada vetor tipo-tempo X → {\displaystyle {\vec {X}}} dirigido para o futuro, temos que

( T a b − 1 2 T g a b ) X a X b ≥ 0 , {\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0,}

onde T = T c c {\displaystyle T={T^{c}}_{c}} é o traço do tensor de energia-momento.

Esta condição garante o caráter atrativo da matéria, por isso um modelo em que se permita a presença de energia escura impõe que essa condição deva ser violada.

Fluido perfeito

Implicações entre algumas condições de energia no caso de um fluido perfeito.

Considerando a assinatura da métrica como ( + , − , − , − ) {\displaystyle (+,-,-,-)} , e o caso especial em que a fonte é um fluido perfeito, o tensor de energia-momento energia possui a seguinte forma:

T a b = ( ρ + p ) u a u b − p g a b , {\displaystyle T^{ab}=\left(\rho +p\right)u^{a}u^{b}-pg^{ab},}

onde u a {\displaystyle u^{a}} é a quadrivelocidade do fluido, ρ {\displaystyle \rho } é densidade de energia e p {\displaystyle p} é a pressão.

As condições de energia podem ser expressas como

  • Condição de energia nula (null): ρ + p ≥ 0. {\displaystyle \rho +p\geq 0.}
  • Condição de energia fraca (weak): ρ ≥ 0 , ρ + p ≥ 0. {\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}
  • Condição de energia dominante (dominant): ρ ≥ | p | . {\displaystyle \rho \geq |p|.}
  • Condição de energia forte (strong): ρ + p ≥ 0 , ρ + 3 p ≥ 0. {\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}

Note que algumas dessas condições permitem pressões negativas.

Referências

  1. ↑ Erik Curiel; A Primer on Energy Conditions, 2014.
  2. ↑ David B. Malament; Topics in the Foundations of General Relativity and Newtonian Gravitation Theory; The University of Chicago Press, 2012.
  3. ↑ Robert M. Wald; General Relativity; University of Chicago Press, 2010. pg. 214.
  4. ↑ Yvonne Choquet-Bruhat; General Relativity and the Einstein Equations; OUP Oxford, 2008.
  5. ↑ A.J. Kox Arquivado em 12 de setembro de 2015, no Wayback Machine., Jean Eisenstaedt; The Universe of General Relativity; Springer Science & Business Media, 2006. pg. 224.
  6. ↑ Abhay Ashtekar, Beverly Berger Arquivado em 23 de setembro de 2015, no Wayback Machine., James Isenberg, Malcolm MacCallum; General Relativity and Gravitation: A Centennial Perspective; Cambridge University Press, 2015.

Bibliografia

  • Carroll, Sean M. (2004). «Seção 4.6 - Energy Conditions». Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (em inglês). San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8732-3 
  • Hawking, Stephen; Ellis, G. F. R. (1973). «Seção 4.3 - Energy Conditions». The Large Scale Structure of Space-Time (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4