Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto.

Definição

Espaços topológicos

Ver artigo principal: Espaço topológico

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia ${\displaystyle T}$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ é definida como um subconjunto do conjunto das partes de ${\displaystyle X}$ (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de ${\displaystyle T}$ é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Espaços métricos

Ver artigo principal: Espaço métrico

Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos.^[1] Ou seja, dado um espaço métrico ${\displaystyle S\,\!}$, um subconjunto ${\displaystyle X\,\!}$ de ${\displaystyle S\,\!}$ é aberto se, para cada ponto ${\displaystyle a\in X}$, existe ${\displaystyle \delta >0\,\!}$ tal que a bola aberta ${\displaystyle B(a,\delta )\,\!}$ ainda esteja contida em ${\displaystyle X\,\!}$.^[1]

Propriedades

• Em um espaço topológico ou espaço métrico ${\displaystyle X}$, o conjunto vazio e o próprio conjunto ${\displaystyle X}$ são abertos.
• Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
• Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
• A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
• A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Como ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto ${\displaystyle X\,\!}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é aberto se, para cada ponto ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, existe ${\displaystyle \epsilon \,\!}$ tal que ${\displaystyle (a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset X}$.

Em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Referências

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company 

• Portal da matemática