Derivada de Lie

Em matemática, uma derivada de Lie é uma derivação na álgebra de funções diferenciáveis sobre uma variedade diferenciável ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}}$, cuja definição pode estender-se à álgebra tensorial da variedade. Obtem-se então o que em topologia diferencial se denomina derivação tensorial: uma aplicação ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$-linear sobre o conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva o tipo tensorial e satisfaz a regra do produto de Leibniz e que comuta com as Contração de tensor|contrações]].

Para definir a derivada de Lie sobre o conjunto de tensores de tipo (r,s) basta definir-se sua ação sobre funções e sobre campos de vetores:

Assim, se X é um campo diferenciável de vetores, se define a derivada de Lie em relação a X como a única derivação tensorial tal que:^[1]

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X(f)}$ para toda função diferenciável f.
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$ para todo campo diferenciável Y, onde [.,.] é o colchete de Lie.

A derivada assim definida satisfará automaticamente as propriedades citadas de uma derivação tensorial:

• a regra do produto

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T)}$

comutará com as contrações.

O espaço vetorial de todas as derivadas de Lie em M forma por sua vez uma álgebra de Lie infinita dimensional em relação ao colchete de Lie.

Derivada de Lie de campos tensoriais

Em geometria diferencial, se temos um tensor diferenciável T de Conjunto imagem (p, q) (ou seja, uma função linear de seções diferenciáveis, α, β, ... do T*M fibrado cotangenteey X, Y,... do TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tais que para quaisquer funções diferenciáveis

f₁...,f_p...,f_p+q, T(f₁α,f₂β...,f_p+1X,f_p+2Y,...) = f₁f₂... f_p+1f_p+2... f_p+q T(α, β..., X, Y ,...)) e um campo vetorial (seção do fibrado tangente) A diferenciável, então a função linear:

(£_AT)(α, β,..., X, Y,...) ≡ ∇_A T(α, β,..., X, Y,...) - ∇_{T(-,β...,X,Y,...)}A(α)-... + T(α, β...,∇_XA,Y,...)+...

é independente da conexão ∇ que se utiliza, enquanto seja livre torsão, e é, de fato, um tensor.^[2]

Este tensor se chama a derivada de Lie de T em relação a A.

Referências