Espaço de Poincaré

Na topologia algébrica, um espaço de Poincaré é um espaço topológico n-dimensional com um elemento distinto µ de seu n-ésimo grupo de homologia, de modo que tomar o produto cap com um elemento do k-ésimo grupo de cohomologia produz um isomorfismo para a (n-k)-ésima homologia grupo.[1][2] O espaço é essencialmente aquele para o qual a dualidade de Poincaré é válida; mais precisamente, aquele cujo complexo de cadeia singular forma um complexo de Poincaré com respeito ao elemento distinto µ. Por exemplo, qualquer variedade M fechada, orientável e conectada é um espaço de Poincaré, onde o elemento distinto é a classe fundamental [ M ] {\displaystyle [M]} .[3][4]

Os espaços de Poincaré são usados na teoria da cirurgia para analisar e classificar variedades.[5] Nem todo espaço de Poincaré é uma variedade, mas a diferença pode ser estudada, primeiro por ter um mapa normal de uma variedade e, em seguida, por meio da teoria da obstrução.[6]

Referências

  1. ↑ Ranicki, Andrew (2011). «THE POINCARE DUALITY THEOREM AND ITS CONVERSE I.» (PDF). The University of Edinburgh 
  2. ↑ Rudyak, Yu.B. (2001), «Poincaré space», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
  3. ↑ Banagl, Markus; Laures, Gerd; McClure, James E. (6 de fevereiro de 2019). «The L-homology fundamental class for IP-spaces and the stratified Novikov conjecture». Selecta Mathematica (1). ISSN 1022-1824. doi:10.1007/s00029-019-0458-y. Consultado em 6 de abril de 2021 
  4. ↑ Kreck, Matthias (4 de maio de 2010). Differential Algebraic Topology: From Stratifolds to Exotic Spheres. Col: Graduate Studies in Mathematics (em inglês). 110. [S.l.]: American Mathematical Society 
  5. ↑ Sylvain Cappell, Andrew Ranicki, Jonathan Rosenberg (1999). «Surveys on Surgery Theory : Volume 1» (PDF). Princeton University Press 
  6. ↑ K¨uhl, Philipp (2013). «The total surgery obstruction revisited» (PDF). M¨unster Journal of Mathematics 
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