Forma quadrática definida

Em matemática, uma forma quadrática definida é uma forma quadrática sobre algum espaço vetorial real V que possui o mesmo sinal (sempre positivo ou sempre negativo) para cada vetor não nulo de V. De acordo com esse sinal, a forma quadrática é chamada positiva-definida ou negativa-definida.

A forma quadrática semi-definida é definida da mesma forma, exceto que "positivo" e "negativo" são substituídos por "não negativo" e "não positivo", respectivamente. Uma forma quadrática indefinida é aquele que tem tanto valores positivos como negativos.

Em termos mais gerais, a definição aplica-se a um espaço vetorial sobre um corpo ordenado.[1]

Forma bilinear simétrica associada

Formas quadráticas correspondem uma-a-uma a formas bilineares simétricas sobre o mesmo espaço.[nota 1] Uma forma bilinear simétrica é também descrita como definida, semidefinida, etc, segundo sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática Q e sua forma bilinear simétrica associada B são relacionadas pelas seguintes equações:

Q ( x ) = B ( x , x ) {\displaystyle \,Q(x)=B(x,x)}
B ( x , y ) = B ( y , x ) = 1 2 ( Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) ) {\displaystyle \,B(x,y)=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))}

Exemplo

Como exemplo, façamos V = R 2 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}} , e consideremos a forma quadrática

Q ( x ) = c 1 x 1 2 + c 2 x 2 2 {\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}\,}

onde x = (x1, x2) , c1 e c2 são constantes. Se c1 > 0 e c2 > 0, a forma quadrática Q é positivo definida. Se uma das constantes é positiva e a outra é zero, então Q é positivo semidefinida. Se c1 > 0 e c2 < 0, então Q é indefinida.

Notas

  1. ↑ Isto é verdade somente sobre um corpo de características diversas que 2, mas aqui nós consideramos somente corpos ordenados, os quais tem necessariamente característica 0.

Referências

  1. ↑ Milnor & Husemoller (1973) p.61
  • Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Col: Cambridge Tracts in Mathematics. 106. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 
  • Lang, Serge (2004), Algebra, ISBN 978-0-387-95385-4, Graduate Texts in Mathematics, 211 Corrected fourth printing, revised third ed. , New York: Springer-Verlag, p. 578 
  • Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016