Fração contínua

Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , bem como 5 10 {\displaystyle {\frac {5}{10}}} . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + ⋯ {\displaystyle a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+{\frac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+\cdots }}}}}}} , em que o primeiro termo, a 0 {\displaystyle a_{0}} , é um número inteiro e os demais números a 1 , a 2 , … , b 1 , b 2 , … , {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,b_{1},b_{2},\ldots ,} são números inteiros positivos.

Frações Continuadas Simples

Frações continuadas simples são expressões da forma a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + 1 ⋱ {\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}} , em que todos os números b j {\displaystyle b_{j}} são iguais a 1. Uma expressão da forma a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 ⋱ + 1 a n {\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\ddots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}} é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]} e [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a n ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]} . Observe que o termo a 0 {\displaystyle a_{0}} é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos: 10 7 = 1 + 3 7 = 1 + 1 7 3 = 1 + 1 2 + 1 3 = [ 1 ; 2 , 3 ] {\displaystyle {\frac {10}{7}}=1+{\frac {3}{7}}=1+{\frac {1}{\frac {7}{3}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{3}}}}=[1;2,3]}

− 18 5 = − 4 + 2 5 = − 4 + 1 5 2 = − 4 + 1 2 + 1 2 = [ − 4 ; 2 , 2 ] {\displaystyle -{\frac {18}{5}}=-4+{\frac {2}{5}}=-4+{\frac {1}{\frac {5}{2}}}=-4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}=[-4;2,2]}

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número 344 77 {\displaystyle {\frac {344}{77}}} na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se 344 = 4 × 77 + 36 {\displaystyle 344=4\times 77+36} . Logo, 344 77 = 4 + 36 77 {\displaystyle {\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}} .

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma 1 77 36 {\displaystyle {\frac {1}{\frac {77}{36}}}} . Com isso, obtém-se a expressão 344 77 = 4 + 36 77 = 4 + 1 77 36 {\displaystyle {\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}=4+{\frac {1}{\frac {77}{36}}}} .

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, 77 36 = 2 + 5 36 = 2 + 1 36 5 {\displaystyle {\frac {77}{36}}=2+{\frac {5}{36}}=2+{\frac {1}{\frac {36}{5}}}} .

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: 344 77 = 4 + 36 77 = 4 + 1 77 36 = 4 + 1 2 + 1 36 5 = 4 + 1 2 + 1 7 + 1 5 {\displaystyle {\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}=4+{\frac {1}{\frac {77}{36}}}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\frac {36}{5}}}}}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{7+{\frac {1}{5}}}}}}} .[1]

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma 1 5 1 {\displaystyle {\frac {1}{\frac {5}{1}}}} , chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número 344 77 {\displaystyle {\frac {344}{77}}} na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número 344 77 {\displaystyle {\frac {344}{77}}} é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples Infinitas

É conveniente denotar repetições periódicas da forma [ a 0 ; a 1 , a 2 , r , s , r , s , … ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},r,s,r,s,\ldots ]} por [ a 0 ; a 1 , a 2 , r , s ¯ ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},{\overline {r,s}}]} .

Exemplo. Vamos verificar que [ 2 ; 2 , 2 , 2 , … ] = [ 2 ; 2 ¯ ] = 2 + 1 {\displaystyle [2;2,2,2,\ldots ]=[2;{\overline {2}}\,]={\sqrt {2}}+1} . De fato, como ( 2 + 1 ) ⋅ ( 2 − 1 ) = 1 {\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)\cdot ({\sqrt {2}}-1)=1} , podemos escrever, 2 − 1 = 1 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}-1={\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}

Também são verdadeiras as igualdades 2 + 1 = 2 + ( 2 − 1 ) = 2 + ( 2 − 1 ) {\displaystyle {\sqrt {2}}+1={\sqrt {2}}+(2-1)=2+({\sqrt {2}}-1)} . Pode-se concluir que 2 + 1 = 2 + 1 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1=2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

2 + 1 = 2 + 1 2 + 1 = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 = … = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + … {\displaystyle {\sqrt {2}}+1=2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}}=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}}}}=\ldots =2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}}

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever: x = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + … ⟺ x − 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + … = 1 x ⟺ ( x − 2 ) x = 1 ⟺ x 2 − 2 x − 1 = 0 {\displaystyle x=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}\iff x-2={\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}={\frac {1}{x}}\iff (x-2)x=1\iff x^{2}-2x-1=0}

Como x {\displaystyle x} é um número positivo, concluímos que x = 1 + 2 {\displaystyle x=1+{\sqrt {2}}} .

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações Parciais

Se x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ] {\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]} , chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais c 0 , c 1 , c 2 , … {\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\ldots } dados por:

c 0 = a 0 , c 1 = a 0 + 1 a 1 , c 2 = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 , ⋯ , c n = a 0 + 1 a 1 + 1 ⋯ + 1 a n , ⋯ {\displaystyle c_{0}=a_{0},c_{1}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}},c_{2}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}}}}},\cdots ,c_{n}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}},\cdots } ,

ou seja, c 0 = [ a 0 ] , c 1 = [ a 0 ; a 1 ] , c 2 = [ a 0 ; a 1 , a 2 ] , ⋯ , c n = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] , ⋯ {\displaystyle c_{0}=[a_{0}],c_{1}=[a_{0};a_{1}],c_{2}=[a_{0};a_{1},a_{2}],\cdots ,c_{n}=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}],\cdots }

A existência do limite da sequência das frações parciais ( c n ) n {\displaystyle (c_{n})_{n}} deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

  • O número de ouro, dado por 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: [ 1 ; 1 ¯ ] {\displaystyle [1;{\overline {1}}\,]} .

Os convergentes do número de ouro são [ 1 ] = 1 , [ 1 ; 1 ] = 1 + 1 1 = 2 , [ 1 ; 1 , 1 ] = 1 + 1 1 + 1 1 = 3 2 , [ 1 ; 1 , 1 , 1 ] = 5 3 , [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 ] = 8 5 , [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ] = 13 8 , ⋯ {\displaystyle [1]=1,[1;1]=1+{\frac {1}{1}}=2,[1;1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}={\frac {3}{2}},[1;1,1,1]={\frac {5}{3}},[1;1,1,1,1]={\frac {8}{5}},[1;1,1,1,1,1]={\frac {13}{8}},\cdots } É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro ( 1 1 , 2 1 , 3 2 , 5 3 , 8 5 , 13 8 , … ) {\displaystyle ({\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},{\frac {13}{8}},\ldots )} formam a sequência de Fibonacci 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ⋯ {\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots }

  • 3 = [ 1 ; 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , … ] = [ 1 ; 1 , 2 ¯ ] {\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]=[1;{\overline {1,2}}]}
  • 7 = [ 2 ; 1 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 1 , 4 , … ] = [ 2 ; 1 , 1 , 1 , 4 ¯ ] {\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=[2;{\overline {1,1,1,4}}]}

Contribuições Importantes

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

  • Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

13 = 3 + 4 6 + 4 6 + 4 6 + … {\displaystyle {\sqrt {13}}=3+{\frac {4}{6+{\frac {4}{6+{\frac {4}{6+\ldots }}}}}}}

  • William Brouncker (1620 – 1684) escreveu a expansão

4 π = 1 + 1 2 + 9 2 + 25 2 + 49 2 + 81 2 + … {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{2+{\frac {9}{2+{\frac {25}{2+{\frac {49}{2+{\frac {81}{2+\ldots }}}}}}}}}}} , que foi uma descoberta muito importante para a história do número π {\displaystyle \pi } .

  • Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número e {\displaystyle e} , definido por e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}} cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , ⋯ ] {\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots ]}

  • Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número π {\displaystyle \pi } é irracional, usando frações continuadas para calcular tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)} da forma

tan ⁡ ( x ) = 1 1 x − 1 3 x − 1 5 x − ⋯ {\displaystyle \tan(x)={\frac {1}{{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{{\frac {3}{x}}-{\frac {1}{{\frac {5}{x}}-\cdots }}}}}}} Lambert usou essa expressão para concluir que se x {\displaystyle x} é um número racional não nulo, então tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)} não pode ser um número racional. Sendo assim, como tan ⁡ ( π 4 ) = 1 {\displaystyle \tan({\frac {\pi }{4}})=1} , então π {\displaystyle \pi } não pode ser racional.

  • Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.

Exemplos de frações contínuas

Alguns exemplos de frações contínuas:
2 = [ 1 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … ] {\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots ]}
3 = [ 1 ; 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , … ] {\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots ]}
5 = [ 2 ; 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , … ] {\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4,4,\dots ]}
7 = [ 2 ; 1 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 1 , 4 , … ] {\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]}
e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , … ] {\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots ]}
π = [ 3 ; 7 , 15 , 1 , 292 , 1 , 1 , 1 , 2 , … ] {\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]}
ϕ = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … ] {\displaystyle \phi =[1;1,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}

Referências

  1. ↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  • COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
  • DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
  • OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.

Ligações externas

  • Frações Contínuas - Mathemathika!
  • Exemplos de Frações Contínuas - Mathemathika!
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