Função teta

Função teta de Jacobi original θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} com u = i π z {\displaystyle u=i\pi z} e com nome q = e i π τ = 0.1 e 0.1 i π {\displaystyle q=e^{i\pi \tau }=0.1e^{0.1i\pi }} .

Em matemática, as funções teta são funções especiais de múltiplas variáveis complexas. São importantes em diversas áreas, incluindo as teorias de variedades abelianas e espaço de moduli, e das formas quadráticas.Também são aplicadas na teoria do sóliton. Quando generalizada na álgebra de Grassmann, elas também aparecem na teoria quântica de campo, mas especificamente na teoria de cordas e D-branas.

A forma mais comum da função teta de é aquela que aparece na teoria das funções elípticas. Com respeito a uma das variáveis complexas (convencionalmente chamada de z), uma função teta possui uma propriedade de expressar seu comportamento com respeito a adição de um período das funções elípticas associadas, fazendo-a uma função quasi-periódica.

Função teta de Jacobi

A função teta de Jacobi (nomeada em referência a Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma função definida para duas variáveis complexas z e τ, onde z pode ser qualquer número complexo e τ é confinada no meio plano superior, o que significa que possui parte imaginária positiva. A função é dada pela fórmula:

ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ exp ⁡ ( π i n 2 τ + 2 π i n z ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( e π i τ ) n 2 cos ⁡ ( 2 π n z ) . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz).}

Se τ é fixo, ela se torna uma série de Fourier para uma função inteira periódica de z com período 1; neste caso, a função teta satisfaz a identidade

ϑ ( z + 1 ; τ ) = ϑ ( z ; τ ) . {\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}

A função também se comporta muito regularmente com respeito a seu quasi-período τ e satisfaz a equação funcional

ϑ ( z + a + b τ ; τ ) = exp ⁡ ( − π i b 2 τ − 2 π i b z ) ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\,\vartheta (z;\tau )}

onde a e b são inteiros.

Função teta θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} com diferente nome q. A função é definida como na imagem acima
Função teta θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} com diferente nome q. A função é definida como na imagem acima

Funções auxiliares

A função teta de Jacobi também pode ser escrita com um duplo 0 subscrito:

ϑ 00 ( z ; τ ) = ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}

Três funções teta auxiliares (meio-período) são definidas por:

ϑ 01 ( z ; τ ) = ϑ ( z + 1 2 π ; τ ) ϑ 10 ( z ; τ ) = exp ( 1 4 π i τ + π i z ) ϑ ( z + 1 2 τ ; τ ) ϑ 11 ( z ; τ ) = exp ( 1 4 π i τ + π i ( z + 1 2 ) ) ϑ ( z + 1 2 τ + 1 2 ; τ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}\pi };\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi i\!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau +{\textstyle {\frac {1}{2}}};\tau \right).\end{aligned}}}

Esta notação segue a formulação de Riemann e Mumford; a formulação original de Jacobi estava em termos do nome q = exp(πiτ) ao invés de τ. Na notação de Jacobi, as funções θ eram escritas como

θ 1 ( z ; q ) = − ϑ 11 ( z ; τ ) θ 2 ( z ; q ) = ϑ 10 ( z ; τ ) θ 3 ( z ; q ) = ϑ 00 ( z ; τ ) θ 4 ( z ; q ) = ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}

As definições da função teta de Jacobi supracitadas não são únicas.

Se fizermos z = 0 nas funções teta, obtemos quatro funções para τ apenas, definidas no semiplano superior (por vezes chamadas constantes tetas). Elas podem ser utilizadas para definir uma variedade da forma modular, e para parametrizar certas curvas; em particular, a identidade de Jacobi é

ϑ 00 ( 0 ; τ ) 4 = ϑ 01 ( 0 ; τ ) 4 + ϑ 10 ( 0 ; τ ) 4 {\displaystyle \vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}

que é a curva de Fermat de quarto grau.

Referências

  • Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (Ver seção 16.27ff.)
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscou, traduzido para o inglês como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (Ver capítulo 6 para tratamento da teta de Riemann)
  • Godfrey Harold Hardy e E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
  • David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
  • James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
  • Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (Ver capítulo XXI para a história das funções teta de Jacobi)

Ligações externas

  • Abramowitz and Stegun hosted by Simon Fraser University