Grupo fundamental

O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Definição

Seja X {\displaystyle X\,} um espaço topológico e x ∈ X {\displaystyle x\in X} um ponto. O grupo fundamental de X {\displaystyle X\,} baseado em x {\displaystyle x\,} , representado por π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,} é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em x {\displaystyle x\,} onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se γ {\displaystyle \gamma \,} e γ ′ {\displaystyle \gamma '\,} são lacetes centrados em x {\displaystyle x\,} , e [ ] {\displaystyle [\,\,]\,} indica a classe de homotopia, então [ γ ] [ γ ′ ] = [ γ ∗ γ ′ ] {\displaystyle [\gamma ][\gamma ']=[\gamma *\gamma ']\,} .

Toda curva γ {\displaystyle \gamma \,} de x {\displaystyle x\,} a y {\displaystyle y\,} define um homomorfismo de grupos entre π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,} e π 1 ( X , y ) {\displaystyle \pi _{1}(X,y)\,} por γ ∗ [ α ] = [ γ − 1 ∗ α ∗ γ ] , {\displaystyle \gamma _{*}[\alpha ]=[\gamma ^{-1}*\alpha *\gamma ],} . Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando X {\displaystyle X\,} é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,} é isomorfo a π 1 ( X , y ) {\displaystyle \pi _{1}(X,y)\,} , para quaisquer x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} .

Aplicações contínuas e homomorfismos

Se f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y\,} é uma aplicação contínua tal que f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y\,} , então ela induz um homomorfismo f ∗ {\displaystyle f_{*}\,} entre π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,} e π 1 ( Y , y ) {\displaystyle \pi _{1}(Y,y)\,} dado por f ∗ [ γ ] = [ f ∘ γ ] {\displaystyle f_{*}[\gamma ]=[f\circ \gamma ]\,} . Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que f ∗ ( [ γ ] ∗ [ γ ′ ] = [ f ∘ γ ] ∗ [ f ∘ γ ′ ] {\displaystyle f_{*}([\gamma ]*[\gamma ']=[f\circ \gamma ]*[f\circ \gamma ']\,} .

Functorialidade

Seja T o p ∗ {\displaystyle Top_{*}\,} a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas ( X , x ) {\displaystyle (X,x)\,} , onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos f : ( X , x ) → ( Y , y ) {\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y)\,} são aplicações contínuas f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y\,} tal que f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y\,} . Então π 1 {\displaystyle \pi _{1}\,} pode ser visto como um functor entre T o p ∗ {\displaystyle Top_{*}\,} e G r p {\displaystyle Grp\,} . Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.

Referências

  • Munkres, James R. (2000). Topology. [S.l.]: Prentice Hall, Incorporated. ISBN 9780131816299 .
  • Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology. [S.l.]: Mir. 454 páginas. ISBN 5855012034 
  • Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521795400 
  • Joseph J., Rotman (1988). An Introduction to Algebraic Topology. [S.l.]: Springer. ISBN 0387966781 
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