Imagem recíproca

Em matemática, a imagem recíproca, ou contra-imagem, ou pré-imagem ou imagem inversa de um subconjunto B {\displaystyle B} do contradomínio de uma função f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} é o conjunto f − 1 ( B ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ B } {\displaystyle f^{-1}(B)=\left\{x\in X:f(x)\in B\right\}} .

O uso da notação f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} não significa que f {\displaystyle f} seja uma função invertível, mas se o for, f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} é de facto, a imagem de B {\displaystyle B} pela função inversa f − 1 {\displaystyle f^{-1}} .

Propriedades

  • f − 1 ( ∅ ) = ∅ {\displaystyle f^{-1}(\varnothing )=\varnothing }
  • Para toda função f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} , f − 1 ( Y ) = X {\displaystyle f^{-1}(Y)=X} . A prova é simples: qualquer elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} é levado por f para algum elemento de Y, logo x ∈ f − 1 ( Y ) {\displaystyle x\in f^{-1}(Y)} .
  • f − 1 ( A ∪ B ) = f − 1 ( A ) ∪ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)} .
  • f − 1 ( A ∩ B ) = f − 1 ( A ) ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)} .
  • A ⊆ B ⟹ f − 1 ( A ) ⊆ f − 1 ( B ) {\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(B)}

De fato,

x ∈ f − 1 ( A ) ⟹ f ( x ) ∈ A . {\displaystyle x\in f^{-1}(A)\Longrightarrow f(x)\in A.} Como A ⊆ B , f ( x ) ∈ B ⟹ x ∈ f − 1 ( B ) {\displaystyle A\subseteq B,f(x)\in B\Longrightarrow x\in f^{-1}(B)}

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