Em análise real , um campo da matemática , a integral de Darboux ou soma de Darboux é uma definição possível da integral de uma função. Integrais de Darboux são equivalentes as integrais de Riemann, o que significa que uma função é integrável por integral de Darboux se, e somente se, for integrável pela integral de Riemann, e os valores das duas integrais, caso existam, forem iguais. Integrais de Darboux têm a vantagem de serem mais simples de definir que as integrais de Riemann. Elas são nomeadas em virtude de seu criador, Gaston Darboux.
As integrais inferior e superior de Darboux Somas de Darboux inferior (verde) e superior (verde mais lavanda) para quatro subintervalos. Uma partição de um intervalo [a ,b ] é uma sequência finita de valores x i tais que
a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b . {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.\,\!} Cada intervalo [x i −1 ,x i ] é chamado um subintervalo da partição. Sendo ƒ:[a ,b ]→R uma função limitada, e fazendo P ser uma partição de [a ,b ]:
P = ( x 0 , … , x n ) {\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!} Tem-se
M i = sup x ∈ [ x i − 1 , x i ] f ( x ) , m i = inf x ∈ [ x i − 1 , x i ] f ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}} A soma superior de Darboux de ƒ em relação a P é
U f , P = ∑ i = 1 n ( x i − x i − 1 ) M i . {\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!} A soma inferior de Darboux de ƒ em relação a P é
L f , P = ∑ i = 1 n ( x i − x i − 1 ) m i . {\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!} A integral superior de Darboux de ƒ é
U f = inf { U f , P : P uma particao de [ a , b ] } . {\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ uma particao de }}[a,b]\}.\,\!} A integral inferior de Darboux de ƒ é
L f = sup { L f , P : P uma particao de [ a , b ] } . {\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ uma particao de }}[a,b]\}.\,\!} Se U ƒ = L ƒ , então diz-se que ƒ é integrável por integral de Darboux e faz-se
∫ a b f ( t ) d t = U f = L f , {\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f},\,\!} o valor comum das integrais superior e inferior de Darboux.[ 1]
Referências ↑ Weisstein, Eric W. «Darboux Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 17 de agosto de 2021 Integrais
Integração numérica Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de Burkill Integral de Bochner Integral de Daniell Integral de Darboux Integral de Henstock–Kurzweil Integral de Haar Integral de Hellinger Integral de Khinchin Integral de Kolmogorov Integral de Lebesgue–Stieltjes Integral de Pettis Integral de Pfeffer Integral de Riemann-Stieltjes Integral regulada Métodos Integrais impróprias Integrais estocásticas