Modelo linear geral

O modelo linear geral ou modelo de regressão multivariada geral é uma maneira compacta de escrever simultaneamente vários modelos de regressão linear múltipla. Nesse sentido, não é um modelo linear estatístico separado. Os vários modelos de regressão linear múltipla podem ser escritos de forma compacta como ^[1]

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}$

onde Y é uma matriz com séries de medições multivariadas (cada coluna sendo um conjunto de medições em uma das variáveis dependentes), X é uma matriz de observações em variáveis independentes que podem ser uma matriz de projeto (cada coluna sendo um conjunto de observações sobre uma das variáveis independentes), B é uma matriz contendo parâmetros que normalmente devem ser estimados e U é uma matriz contendo erros (ruído). Os erros são geralmente assumidos como não correlacionados entre as medições e seguem uma distribuição normal multivariada. Se os erros não seguem uma distribuição normal multivariada, modelos lineares generalizados podem ser usados para relaxar as suposições sobre Y e U.

O modelo linear geral incorpora vários modelos estatísticos diferentes: ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, regressão linear ordinária, teste t e teste <i id="mwKQ">F</i>. O modelo linear geral é uma generalização da regressão linear múltipla para o caso de mais de uma variável dependente. Se Y, B e U fossem vetores de coluna, a equação matricial acima representaria regressão linear múltipla.

Testes de hipóteses com o modelo linear geral podem ser feitos de duas maneiras: como multivariados ou como vários testes univariados independentes. Nos testes multivariados as colunas de Y são testadas em conjunto, enquanto nos testes univariados as colunas de Y são testadas independentemente, ou seja, como múltiplos testes univariados com a mesma matriz de projeto.

Comparação com regressão linear múltipla

A regressão linear múltipla é uma generalização da regressão linear simples para o caso de mais de uma variável independente, e um caso especial de modelos lineares gerais, restritos a uma variável dependente. O modelo básico para regressão linear múltipla é

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}}$

para cada observação i = 1, ..., n.

Na fórmula acima, consideramos n observações de uma variável dependente e p variáveis independentes. Assim, Y é a i ésima observação da variável dependente, X_ij é a i ésima observação da j ésima variável independente, j = 1, 2, ..., p . Os valores β_j representam os parâmetros a serem estimados, e ε_i é o i ésimo erro normal independente identicamente distribuído.

Comparação com o modelo linear generalizado

O modelo linear geral e o modelo linear generalizado ^{[2] [3]} (GLM) são duas famílias de métodos estatísticos comumente usados para relacionar algum número de preditores contínuos e/ou categóricos a uma única variável de resultado.

A principal diferença entre as duas abordagens é que o modelo linear geral supõe estritamente que os resíduos seguirão uma distribuição condicionalmente normal, ^[4] enquanto o GLM afrouxa essa suposição e permite uma variedade de outras distribuições da família exponencial para os resíduos. ^[2] De notar que o modelo linear geral é um caso especial do GLM em que a distribuição dos resíduos segue uma distribuição condicionalmente normal.

A distribuição dos resíduos depende em grande parte do tipo e distribuição da variável de resultado. Diferentes tipos de variáveis de resultado levam à variedade de modelos dentro da família GLM. Modelos comumente usados na família GLM incluem regressão logística binária ^[5] para resultados binários ou dicotômicos, regressão de Poisson ^[6] para resultados de contagem e regressão linear para resultados contínuos e normalmente distribuídos. Isso significa que o GLM pode ser considerado uma família geral de modelos estatísticos ou modelos específicos para tipos de resultados específicos.

Veja também

• Teste t de Student

Referências

Bibliografia

• Christensen, Ronald (2002). Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models Third ed. New York: Springer. ISBN 0-387-95361-2 
• Wichura, Michael J. (2006). The coordinate-free approach to linear models. Col: Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455 
• Pantula; Dickey, eds. (1998). «Applied Regression Analysis». Springer Texts in Statistics. ISBN 0-387-98454-2. doi:10.1007/b98890  |nome1= sem |sobrenome1= em Editors list (ajuda)