Raio de curvatura

Raio de curvatura e centro de curvatura

Na geometria diferencial, o raio de curvatura, R, é o recíproco da curvatura . Para uma curva, é igual ao raio do arco circular que melhor se aproxima da curva naquele ponto. Para superfícies, o raio de curvatura é o raio de um círculo que melhor se ajusta a uma seção normal ou a suas combinações .[1][2][3]

Definição

O raio de curvatura é uma magnitude que mede a curvatura de um objeto geométrico tal como uma linha curva, uma superfície ou mais genericamente uma variedade diferenciável imersa em um espaço euclidiano.

O raio de curvatura é matematicamente descrito por

R = 1 | k | {\displaystyle R={\frac {1}{|k|}}}

onde k {\displaystyle k} é a curvatura de uma determinada função.

Se a curva é dada em coordenadas cartesianas como y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} , e diferenciável pelo menos duas vezes, então o raio de curvatura é dado por[4]

R = | ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 y ″ | {\displaystyle R=\left|{\frac {(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}}\right|}

onde y ′ = d y d x {\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}} e y ″ = d 2 y d x 2 {\displaystyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}
Caso a curva seja definida em equações paramétricas como x ( t ) {\displaystyle x(t)} e y ( t ) {\displaystyle y(t)} , então o raio de curvatura é dado por

R = ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 | x ′ y ″ − y ′ x ″ | {\displaystyle R={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{|x'y''-y'x''|}}}

onde y ′ = d y d t {\displaystyle y'={\frac {dy}{dt}}} e x ′ = d x d t {\displaystyle x'={\frac {dx}{dt}}} , e também x ″ = d 2 x d t 2 {\displaystyle x''={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}} e y ″ = d 2 y d t 2 {\displaystyle y''={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}
Em notação vetorial, pode-se interpretar a definição acima como

R = | r ′ | 3 | r ′ × r ″ | {\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {r'} \right|^{3}}{\left|\mathbf {r'} \times \mathbf {r''} \right|}}}

onde r {\displaystyle \mathbf {r} } é uma função vetorial definida por funções escalares de parâmetro t {\displaystyle t} nas direções dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares.

Fórmula

Se γ : ℝ → ℝn é uma curva parametrizada em ℝn então o raio de curvatura em cada ponto da curva, ρ : ℝ → ℝ, é dado por [3]

ρ = | γ ′ | 3 | γ ′ | 2 | γ ″ | 2 − ( γ ′ ⋅ γ ″ ) 2 {\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}}
Como um caso especial, se f(t) é uma função de ℝ a ℝ, então o raio de curvatura de seu gráfico, γ(t) = (t, f(t)), é:
ρ ( t ) = | 1 + { [ f ( t ) ] ′ } 2 | 3 2 | f ″ ( t ) | . {\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+\{[f(t)]'\}^{2}\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}
Derivação

Seja γ como acima, e corrija t . Queremos encontrar o raio ρ de um círculo parametrizado que corresponda a γ em suas derivadas zero, primeira e segunda em t . Claramente, o raio não dependerá da posição γ(t), apenas da velocidade γ′(t) e da aceleração γ″(t) . Existem apenas três escalares independentes que podem ser obtidos a partir de dois vetores v e w, a saber v · v, v · w e w · w . Assim o raio de curvatura deve ser a função de três escalares |γ′(t)|2, | γ″(t)|2 e γ′(t) · γ″(t).[5]

A equação geral para um círculo parametrizado em is ℝn é

g ( u ) = a cos ⁡ h ( u ) + b sin ⁡ h ( u ) + c {\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos h(u)+\mathbf {b} \sin h(u)+\mathbf {c} }
onde c ∈ ℝn é o centro do círculo (irrelevante, pois desaparece nas derivadas), a,b ∈ ℝn são vetores perpendiculares de comprimento ρ (ou seja, a · a = b · b = ρ2 e a · b = 0 ) h : ℝ → ℝ é uma função arbitrária que é duas vezes diferencial em t .

Os derivados relevantes de g calculam-se como

| g ′ | 2 = ρ 2 ( h ′ ) 2 g ′ ⋅ g ″ = ρ 2 h ′ h ″ | g ″ | 2 = ρ 2 ( ( h ′ ) 4 + ( h ″ ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}

Se agora igualarmos essas derivadas de g às derivadas correspondentes de γ at t, obtemos

| γ ′ ( t ) | 2 = ρ 2 h ′ 2 ( t ) γ ′ ( t ) ⋅ γ ″ ( t ) = ρ 2 h ′ ( t ) h ″ ( t ) | γ ″ ( t ) | 2 = ρ 2 ( h ′ 4 ( t ) + h ″ 2 ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}

Essas três equações em três incógnitas ( ρ, h′(t) e h″(t) ) podem ser resolvidas para ρ, fornecendo a fórmula para o raio de curvatura:

ρ ( t ) = | γ ′ ( t ) | 3 | γ ′ ( t ) | 2 | γ ″ ( t ) | 2 − ( γ ′ ( t ) ⋅ γ ″ ( t ) ) 2 {\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}}

ou, omitindo o parâmetro t para facilitar a leitura,

ρ = | γ ′ | 3 | γ ′ | 2 | γ ″ | 2 − ( γ ′ ⋅ γ ″ ) 2 . {\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}.}

Exemplos

Uma elipse (vermelha) e sua evolução (azul). Os pontos são os vértices da elipse, nos pontos de maior e menor curvatura.

Semicírculos e círculos

y = a 2 − x 2 , y ′ = − x a 2 − x 2 , y ″ = − a 2 ( a 2 − x 2 ) 3 2 , R = | − a | = a . {\displaystyle y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad y'={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},\quad y''={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad R=|-a|=a.}

Para um semicírculo de raio a no semiplano inferior

y = − a 2 − x 2 , R = | a | = a . {\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad R=|a|=a.}
O círculo de raio a tem um raio de curvatura igual a a.

Elipses

Em uma elipse com o eixo maior 2a e o eixo menor 2b, os vértices no eixo principal têm o menor raio de curvatura de qualquer ponto, R = b2a ; e os vértices no eixo menor têm o maior raio de curvatura de qualquer ponto, R = a2b .

Aplicações

Estresse em estruturas semicondutores

O estresse na estrutura do semicondutor envolvendo filmes finos evaporados geralmente resulta da expansão térmica (estresse térmico) durante o processo de fabricação. O estresse térmico ocorre porque as deposições dos filmes geralmente são feitas acima da temperatura ambiente.Após o resfriamento da temperatura de deposição para a temperatura ambiente, a diferença nos coeficientes de expansão térmica do substrato e do filme causa estresse térmico.

O estresse intrínseco resulta da microestrutura criada no filme à medida que os átomos são depositados no substrato. O estresse elástico resulta dos micro vazios no filme fino, devido à interação atraente dos átomos através dos vazios.[6]

O estresse nas estruturas de semicondutores de película fina resulta na flambagem das bolachas. O raio da curvatura da estrutura tensionada está relacionado ao tensor de tensão na estrutura e pode ser descrito pela fórmula de Stoney modificada.[7] A topografia da estrutura tensionada, incluindo raios de curvatura, pode ser medida usando métodos de scanner óptico. As modernas ferramentas de scanner têm a capacidade de medir a topografia completa do substrato e medir os dois principais raios de curvatura, fornecendo a precisão da ordem de 0,1% para raios de curvatura de 90 metros ou mais.[8]

Ver também

Referências

  1. ↑ Weisstien. «Radius of Curvature». Wolfram Mathworld  |nome3= sem |sobrenome3= em Authors list (ajuda)
  2. ↑ Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist (em inglês). [S.l.: s.n.] ISBN 9788126908202 
  3. ↑ a b Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus. MacMillan (em inglês) Sixth ed. New York: [s.n.] 
  4. ↑ http://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html
  5. ↑ Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (em inglês) Sixth ed. New York: MacMillan 
  6. ↑ «Controlling Stress in Thin Films». Flipchips.com. Consultado em 22 de abril de 2016 
  7. ↑ «On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits» (PDF). Qucosa.de 
  8. ↑ Peter Walecki. «Model X». Zebraoptical.com 

Leitura adicional

  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-212589-7 

Ligações externas

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Várias noções de curvatura definida em geometria diferencial
Geometria diferencial de curvas
Geometria diferencial de superfícies
Geometria de Riemann
Curvatura de conecções
  • Forma de curvatura
  • Tensor de torção
  • Co-curvatura
  • Holonomia
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