Teorema de Erdős–Wintner

O Teorema de Erdős–Wintner é um teorema da Teoria Probabilística dos Números assim nomeado por ter sido provado por Paul Erdős e Aurel Wintner^[1].

Teoria

Sejam x e y tais que ${\displaystyle 2\leq x\leq y.}$   A notação

${\displaystyle v_{x,y}(n;f(n)<=z)}$          ${\displaystyle (1)}$

é a frequencia entre os inteiros n no intervalo semi-aberto ${\displaystyle ]x-y;x]}$ daqueles para os quais a função aditiva real ${\displaystyle f(n)}$ não exceda z.

Seja ${\displaystyle c>1}$ e ${\displaystyle N_{j}}$ uma sequência crescente de inteiros positivos para os quais ${\displaystyle N_{j+1}\leq N_{j}^{c}}$.

Seja ${\displaystyle M_{j}}$ uma outra sequência de números inteiros, ${\displaystyle M_{j}<=N_{j}}$, ${\displaystyle \log M_{j}/\log N_{j}\to 1}$,   já que ${\displaystyle j\to \infty }$.

Na ordem que as frequências

${\displaystyle v_{N_{j},M_{j}}(n;f(n)\leq z)}$          ${\displaystyle (2)}$

convergem fracamente, como ${\displaystyle j\to \infty }$, é necessário e suficiente que as três séries

${\displaystyle \sum _{|f(p)|>1}{\frac {1}{p}},\sum _{|f(p)|\leq {1}}{\frac {f(p)}{p}},\sum _{|f(p)|\leq {1}}{\frac {f(p)^{2}}{p}}}$          ${\displaystyle (3)}$

convirjam.

Resultados

Quando ${\displaystyle N_{j}=j}$ e ${\displaystyle M_{j}=j}$, este é o Teorema de Erdős–Wintner. Para ${\displaystyle N_{j}=j}$ e algum ${\displaystyle M_{j}}$ que satisfaça ${\displaystyle M_{j}/N_{j}\to 0}$, em conjunto com a condição acima ${\displaystyle \log M_{j}\thicksim \log N_{j}}$ foi provada por A. J. Hildebrand.

Referências

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