Teorema do índice de Atiyah-Singer

Na geometria diferencial, o teorema do índice de Atiyah-Singer afirma que para um operador diferencial elíptico sobre uma variedade compacta, o índice analítico (relacionado com a dimensão do espaço de soluções) é igual ao índice topológico (definida em termos de alguns dados topológicos). Ele inclui muitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e tem aplicações em física teórica.

Foi provado por Michael Atiyah e Isadore Singer em 1963.

Quando devidamente estendido a um espaço de Sobolev^[1], todo operador diferencial elíptico ${\displaystyle D}$ pode ser visto como um operador de Fredholm- ou seja, um operador contínuo com núcleo e conúcleo de dimensão finita. Assim, os espaços vetoriais ${\displaystyle \ker(D)}$ e ${\displaystyle \operatorname {coker} (D)=\ker(D^{*})}$ têm dimensão finita, e portanto podemos calcular o índice analítico do operador:

${\displaystyle \operatorname {Ind} (D)=\dim \ker(D)-\dim \operatorname {coker} (D)}$

que é um invariante topológico de operadores de Fredholm entre espaços de Hilbert (isto é, dois operadores do tipo são homotópicos em ${\displaystyle B(H)}$ exatamente quando têm mesmo índice).

Usando invariantes topológicas conhecidas como classes características, é possível associar a um operador elíptico ${\displaystyle D}$ o seu índice topológico, igual à expressão^[2]

${\displaystyle (-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )[T^{*}X]=(-1)^{n}\int _{T^{*}X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )}$

onde

• ${\displaystyle \operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )}$ é a classe de Todd do fibrado tangente complexificado;
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)}$ é igual a ${\displaystyle \operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D)))}$, onde
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$ é o caráter de Chern;
  • ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$ é o "elemento de diferença" em ${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$ associado aos fibrados ${\displaystyle p^{*}E}$ e ${\displaystyle p^{*}F}$ sobre ${\displaystyle B(X)=\{(v,x)\in T^{*}X;\vert \vert v\vert \vert \leq 1,\,x\in X\}}$ e o isomorfismo ${\displaystyle \sigma (D)}$ entre eles no subespaço ${\displaystyle S(X)=\{(v,x)\in T^{*}X;\vert \vert v\vert \vert =1,\,x\in X\}}$;
  • ${\displaystyle \sigma (D)}$ é o símbolo de ${\displaystyle D}$.

Em algumas situações, é possível simplificar a fórmula acima para fins computacionais. Em particular, se ${\displaystyle X}$ é uma variedade (compacta) orientável ${\displaystyle 2m}$-dimensional cuja classe de Euler ${\displaystyle e(TX)}$ é não-nula, então aplicando o isomorfismo de Thom e dividindo pela classe de Euler^[3][1], o índice topológico pode ser expresso como

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$

onde a divisão por formas faz sentido na medida em que fazemos o pullback de ${\displaystyle e(TX)^{-1}}$ a partir do espaço classificante ${\displaystyle BSO}$.

O teorema do índice então afirma que: o índice analítico é igual ao índice topológico.

Seja ${\displaystyle M}$ uma variedade compacta orientável de dimensão ${\displaystyle n=2r}$. Se ${\displaystyle \Lambda ^{even}}$ representar a soma dos produtos exteriores de grau par do fibrado cotangente, e ${\displaystyle \Lambda ^{odd}}$ a soma dos de grau ímpar, defina ${\displaystyle D=d+d^{*}}$, considerado como uma aplicação de ${\displaystyle \Lambda ^{even}}$ a ${\displaystyle \Lambda ^{odd}}$. Então o índice analítico de ${\displaystyle D}$ é a característica de Euler de ${\displaystyle \chi (M)}$, e o índice analítico é a integral da classe de Euler sobre a variedade. Essa é a versão "topológica" do teorema de Chern-Gauss-Bonnet.

Mais concretamente, segundo uma variação do princípio de divisão, se ${\displaystyle E}$ é um fibrado vetorial real de dimensão ${\displaystyle n=2r}$, para provarmos fórmulas envolvendo classes características, é possível supor que existem fibrados de linha complexos ${\displaystyle l_{1},...l_{r}}$ tais que ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus ...l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$. Logo, podemos tratar das raízes de Chern ${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$, ${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}({\overline {l_{i}}})=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$, ${\displaystyle i=1,...,r}$.

Usando raízes de Chern como acima e aplicando as propriedades básicas da classe de Euler, temos que ${\displaystyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$. Em relação ao caráter de Chern e à classe de Todd^[4],

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} (\Lambda ^{even}-\Lambda ^{odd})&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} )-...+(-1)^{n}\operatorname {ch} (\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} )\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+...+(-1)^{n}e^{-x_{1}}...e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}(1-e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} ))\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$$

Aplicando o teorema do índice,

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}(1-e^{-x_{i}})}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$,

que é a versão topológica do teorema de Chern-Gauss-Bonnet (a geométrica sendo obtida ao aplicarmos o homomorfismo de Chern-Weil).

Seja X uma variedade complexa de dimensão (também complexa) ${\displaystyle n}$ e V um fibrado vetorial holomórfico sobre X. Se E e F forem as somas dos fibrados de formas diferenciais com coeficientes em V de tipo (0,i) com i par (no caso de E) ou ímpar (no caso de F), consideramos o operador diferencial

${\displaystyle D={\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

restrito a E.

Nesse caso, o índice analítico do operador é a característica de Euler holomórfica de V:

${\displaystyle {\textrm {index}}(D)=\sum _{p}(-1)^{p}{\textrm {dim}}\,H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

Como estamos tratando de fibrados que já são compelxos, calcular o índice topológico é mais simples. Usando raízes de Chern e fazendo contas similares às do exemplo anterior, a classe de Euler é dada por ${\displaystyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$ e

$${\displaystyle \operatorname {ch} (\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}})=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}(1-e^{x_{j}})(TX)}$$

$${\displaystyle \operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} ({\overline {TX}})=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)}$$

Aplicando o teorema do índice, obtemos o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch:

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

Na verdade, obtemos uma generalização a todas as variedades complexas: a demonstração original de Hirzebruch funcionava somente para variedades projetivas.

• Rafe Mazzeo: Teorema do índice de Atiyah-Singer: o que é, e porque devemos nos preocupar.
• Raussen, Skau, Entrevista com Atiyah, Singer, Notices AMS 2005.
• R. R. Seeley and other, Notas antigas sobre operadores pseudo-diferenciais e teoria de índices
• A. J. Wassermann, Notas sobre o Teorema do índice de Atiyah-Singer

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