Teorema do fluxo máximo e corte mínimo
No campo da Otimização, o teorema do fluxo máximo-corte mínimo afirma que em um fluxo de rede, o valor máximo do fluxo passando de um ponto-origem até um ponto destino é igual à sua capacidade mínima, que quando removida da rede de uma forma específica ocasiona a situação onde nenhum fluxo passa mais entre a origem e o destino..
O teorema do fluxo máximo-corte mínimo é um caso especial do teorema da dualidade e pode ser usado pra derivar o Teorema de Menger e o Teorema de König-Egerváry.
Definição
Seja uma rede (digrafo) com e sendo a origem e o destino de respectivamente.
- A capacidade de uma aresta é um mapeamento c: E→R+, escrito como cuv ou c(u,v). Ele representa a quantidade máxima de fluxo pode passar por uma aresta.
- O fluxo é um mapeamento f: E→R+, escrito como fuv or f(u,v), sujeito às seguintes duas restrições:
- para cada (restrição de capacidade)
- para cada (conservação dos fluxos).
- O valor do fluxo é definido por | f | = Σv∈Vfsv, onde s é a origem de N. Ele representa a quantidade de fluxo passando da origem ao destino.
O problema do fluxo máximo é maximizar | f |, ou seja, transportar o maior quantidade possível de fluxo de s até t.
- Um corte s-t C = (S,T) é definido como o particionamento de V tal que s∈S e t∈T. O conjunto de corte de C é o conjunto {(u,v)∈E | u∈S, v∈T}. Note que se as arestas no conjunto de corte de C forem removidas, | f | = 0.
- A capacidade de um corte s-t é definida por .
O problema do corte mínimo é minimizar , ou seja, determinar S e T tal que a capacidade do corte S-T é mínimo.
Declaração
O teorema do Fluxo Máximo-Corte Mínimo afirma que
- O valor máximo de um fluxo s-t é igual a capacidade mínima de um corte s-t.
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