Teoria dos twistores

Teoria quântica de campos

(Diagramas de Feynman)

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Na física teórica, a teoria dos twistores foi originalmente proposta como uma nova estrutura geométrica para a física que visa unificar a relatividade geral e a mecânica quântica.^[1] Em termos gerais, a teoria dos twistores é uma estrutura para codificar informações físicas no espaço-tempo como dados geométricos em um espaço projetivo complexo, conhecido como espaço twistor.^[2] Ela foi proposta por Roger Penrose^[3] em 1967 como um caminho possível para a gravidade quântica e evoluiu para um ramo da física teórica e matemática.^[4]

Penrose propôs que o espaço twistor deveria ser a arena básica para a física da qual o próprio espaço-tempo deveria emergir. Isso leva a um conjunto de ferramentas matemáticas que têm aplicações em geometria diferencial e integral, equações diferenciais não lineares e teoria da representação e em física para relatividade geral e teoria quântica de campos, em particular para amplitudes de espalhamento.^[5][6]

Correspondência de Twistores

Denote o espaço Minkowski por ${\displaystyle M}$, com coordenadas ${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$ e métrica Lorentziana ${\displaystyle \eta _{ab}}$ signature ${\displaystyle (1,3)}$. Introduza índices de espinor de 2 componentes ${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$ e defina

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

O espaço twistor não projetivo ${\displaystyle \mathbb {T} }$ é um espaço vetorial complexo quadridimensional com coordenadas denotadas por ${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$ onde ${\displaystyle \omega ^{A}}$ e ${\displaystyle \pi _{A'}}$ são dois espinores de Weyl constantes. A forma hermitiana pode ser expressa definindo uma conjugação complexa de ${\displaystyle \mathbb {T} }$ para seu dual ${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$ by ${\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$ de modo que a forma hermitiana pode ser expressa como

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

Isso junto com a forma de volume holomórfico, ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$ é invariante sob o grupo SU (2,2), uma cobertura quádrupla do grupo conformado C (1,3) do espaço-tempo de Minkowski compactado.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

A relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente trabalha-se no espaço do twistor projetivo ${\displaystyle \mathbb {PT} ,}$ que é isomórfico como uma variedade complexa para ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$. Um ponto ${\displaystyle x\in M}$assim, determina uma linha ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$no ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ parametrizado por ${\displaystyle \pi _{A'}.}$ Um twistor ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ é mais fácil de entender no espaço-tempo para valores complexos das coordenadas, onde define um plano duplo totalmente nulo que é autodual. Seja ${\displaystyle x}$ real, então se${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ desaparece, então ${\displaystyle x}$ encontra-se em um raio de luz, enquanto se ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ não desaparece, não há soluções e, de fato, ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ corresponde a uma partícula sem massa com spin que não está localizada no espaço-tempo real.

Supertwistores

Supertwistores são uma extensão supersimétrica de twistors introduzida por Alan Ferber em 1978.^[7] O espaço do twistor não projetivo é estendido por coordenadas fermiônicas onde ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ é o número de supersimetrias de modo que um twistor agora é dado por ${\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}$ com ${\displaystyle \eta ^{i}}$ anticommutação. O grupo superconformal ${\displaystyle SU(2,2|{\mathcal {N}})}$ age naturalmente neste espaço e uma versão supersimétrica da transformada de Penrose leva classes de cohomologia no espaço do supertwistor para multipletos supersimétricos sem massa no super espaço de Minkowski. O caso ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ fornece a meta de corda twistor original de Penrose e o caso ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ é aquele para a generalização da supergravidade de Skinner.^[8]

Referências

Leitura adicional

• Atiyah, M., Dunajski, M., and Mason, L. J. (2017). "Twistor theory at fifty: from contour integrals to twistor strings". Proc. R. Soc. A. 473 (2206): 20170530. doi:10.1098/rspa.2017.0530. ISSN 1364-5021.
• Baird, P., "An Introduction to Twistors."
• Huggett, S. and Tod, K. P. (1994). An Introduction to Twistor Theory, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521456890. OCLC 831625586.
• Hughston, L. P. (1979) Twistors and Particles. Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09244-5.
• Hughston, L. P. and Ward, R. S., eds (1979) Advances in Twistor Theory. Pitman. ISBN 0-273-08448-8.
• Mason, L. J. and Hughston, L. P., eds (1990) Further Advances in Twistor Theory, Volume I: The Penrose Transform and its Applications. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00466-7.
• Mason, L. J., Hughston, L. P., and Kobak, P. K., eds (1995) Further Advances in Twistor Theory, Volume II: Integrable Systems, Conformal Geometry, and Gravitation. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00465-9.
• Mason, L. J., Hughston, L. P., Kobak, P. K., and Pulverer, K., eds (2001) Further Advances in Twistor Theory, Volume III: Curved Twistor Spaces. Research Notes in Mathematics 424, Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-047-3.
• Penrose, Roger (1967), «Twistor Algebra», Journal of Mathematical Physics, 8 (2): 345–366, Bibcode:1967JMP.....8..345P, MR 0216828, doi:10.1063/1.1705200, arquivado do original em 12 de janeiro de 2013 
• Penrose, Roger (1968), «Twistor Quantisation and Curved Space-time», International Journal of Theoretical Physics, 1 (1): 61–99, Bibcode:1968IJTP....1...61P, doi:10.1007/BF00668831 
• Penrose, Roger (1969), «Solutions of the Zero‐Rest‐Mass Equations», Journal of Mathematical Physics, 10 (1): 38–39, Bibcode:1969JMP....10...38P, doi:10.1063/1.1664756, arquivado do original em 12 de janeiro de 2013 
• Penrose, Roger (1977), «The Twistor Programme», Reports on Mathematical Physics, 12 (1): 65–76, Bibcode:1977RpMP...12...65P, MR 0465032, doi:10.1016/0034-4877(77)90047-7 
• Penrose, Roger (1999) "The Central Programme of Twistor Theory," Chaos, Solitons and Fractals 10: 581–611.
• Witten, Edward (2004), «Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space», Communications in Mathematical Physics, 252 (1–3): 189–258, Bibcode:2004CMaPh.252..189W, arXiv:hep-th/0312171, doi:10.1007/s00220-004-1187-3 

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