Tetraedro

Tetraedro
Tetraedro
Tipo Sólido platônico
Faces 4
Arestas 6
Vértices 4
Símbolo de Schläfli {3,3}
h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Símbolo de Wythoff 3
Grupo de simetria Tetraédrico (Td)
Área de superfície 3 a 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}
Volume 1 3 A 0 H = 2 12 a 3 {\displaystyle {1 \over 3}A_{0}H={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}
Ângulo diédrico arccos ( 1 3 ) {\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}
Poliedro dual autodual
Propriedades
Regular, Convexo, Deltaedro
Planificação

Na geometria, um tetraedro, também conhecido como uma pirâmide triangular, é um poliedro composto por quatro faces triangulares, três delas encontrando-se em cada vértice. O tetraedro regular é um sólido platónico, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.[1]

O tetraedro é a manifestação tridimensional do conceito simples de Euclides e, portanto, também pode ser chamado de 3-simples. Pode ser definido, também, como um tipo de pirâmide com uma base de polígono plana e faces triangulares que conectam a base a uma ponto comum. No caso de um tetraedro, a base é um triângulo (qualquer uma das quatro faces pode ser considerada base), então um tetraedro também é conhecido como uma "pirâmide triangular".

Como todos os poliedros convexos, um tetraedro pode ser dobrado a partir de uma única folha de papel.

Para qualquer tetraedro existe uma esfera circunscrita em que se encontram os quatro vértices e outra esfera inscrita tangente às faces do tetraedro.

Fórmulas para o tetraedro regular

Em um tetraedro regular cujas arestas medem a : {\displaystyle a:}

Área da base A 0 = 3 4 a 2 {\displaystyle A_{0}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}}
Área da superfície[2] A = 4 A 0 = 3 a 2 {\displaystyle A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}}
Altura[3] H = 6 3 a {\displaystyle H={{\sqrt {6}} \over 3}a}
Distância do centroide a um vértice 3 4 H = 6 4 a = 3 8 a {\displaystyle {\frac {3}{4}}\,H={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,}
Volume[2] V = 1 3 A 0 H = 2 12 a 3 {\displaystyle V={1 \over 3}A_{0}H={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}
Ângulo entre uma aresta e uma face arccos ( 1 3 ) = arctan ( 2 ) {\displaystyle \arccos \left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)=\arctan({\sqrt {2}})}
(aproximadamente 54.7356°)
Ângulo entre duas faces[2] arccos ( 1 3 ) = arctan ( 2 2 ) {\displaystyle \arccos \left({1 \over 3}\right)=\arctan(2{\sqrt {2}})}
(aproximadamente 70.5288°)
Ângulo entre os segmentos que unem o centro e os vértices,[4] também conhecido como ângulo tetraédrico arccos ( 1 3 ) = 2 arctan ( 2 ) {\displaystyle \arccos \left({-1 \over 3}\right)=2\arctan({\sqrt {2}})}
(aproximadamente 109.4691°)
Ângulo sólido em um vértice subentendido por uma face arccos ( 23 27 ) {\displaystyle \arccos \left({23 \over 27}\right)}
(aproximadamente 0.55129 esferorradianos)
Raio da esfera circunscrita[2] R = 3 8 a {\displaystyle R={\sqrt {3 \over 8}}\,a}
Raio da esfera inscrita que é tangente às faces[2] r = 1 3 R = a 24 {\displaystyle r={1 \over 3}R={a \over {\sqrt {24}}}}
Raio da esfera tangente a todas as arestas[2] r M = r R = a 8 {\displaystyle r_{M}={\sqrt {rR}}={a \over {\sqrt {8}}}}
Raio das exoesferas r E = a 6 {\displaystyle r_{E}={a \over {\sqrt {6}}}}
Distância de um vértice ao centro da exosfera 3 8 a {\displaystyle {\sqrt {3 \over 8}}\,a}

Propriedades

A razão entre o raio da esfera circunscrita no tetraedro e a esfera inscrita é de 3:1.[5]

É o sólido regular que possui a minima superfície para o mesmo volume.[6]

Tetraedro na natureza

Numerosos minerais e compostos químicos têm uma estrutura tetraédrica.

Estrutura da molécula de metano

Um pseudocientista inglês,[carece de fontes?] William Lowthian Green, propôs, em 1875, que a Terra, quando estava esfriando, tendeu a assumir a forma de um tetraedro, com quatro vértices projetando-se para fora, dando origem aos continentes, e quatro faces projetando-se para dentro, dando origem aos oceanos.[6] Théophile Moreux citou esta hipótese no seu livro Astronomy To-day, mencionando como os quatro vértices seriam as massa da Escandinávia, Sibéria, Canadá e Antártida, opondo-se aos oceanos, Atlântico Sul, Índico, Pacífico e Ártico.[6]

Mitologia

De acordo com Kepler, o tetraedro é o segundo, contando de fora para dentro, dos cinco sólidos que os platonistas diziam ser as figuras do mundo; a ordem seria do cubo (o mais externo), seguido do tetraedro, dodecaedro, icosaedro e octaedro.[5] Enquanto o cubo e o dodecaedro são masculinos, e o octaedro e icosaedro femininos, o tetraedro é hermafrodita, porque ele é inscrito nele mesmo.[5]

Jogos

O Jogo Real de Ur, datado de 2600 a.C, foi jogado com um conjunto de dados tetraédricos.

Exemplos

Ver também

Referências

  1. W., Weisstein, Eric. «Tetrahedron». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 29 de junho de 2017 
  2. a b c d e f Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes (Methuen and Co., 1948). Table I(i).
  3. [1]
  4. "Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron" Arquivado em 3 de outubro de 2018, no Wayback Machine. – Maze5.net
  5. a b c Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1. Sobre as cinco figuras sólidas regulares [em linha]
  6. a b c Edna Kenton, The Book of Earths (1928), Tetrahedron Earth [em linha]

Ligações externas

  • Modelo 3D Interativo do Tetraedro
  • [Mundo Educação «Tetraedro Regular»] Verifique valor |url= (ajuda) 
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O Wikcionário tem o verbete tetraedro.
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