Triângulo isósceles

Em geometria, um triângulo isósceles é um triângulo que possui dois lados de mesma medida, isso é, congruentes.

Definição

Dizemos que um triângulo é isósceles, se, e somente se, têm dois lados congruentes.

Com notação matemática, isso pode ser expresso da seguinte forma:

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$^[1]

Propriedades

A seguir temos uma lista de propriedades dos triângulos isósceles e abaixo suas explicações e demonstrações.^[2]

• Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
• Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.

Congruência dos ângulos da base

Todo triângulo isósceles é também um triângulo isoângulo, isto é, possui dois ângulos congruentes, que são os dois ângulos opostos aos lados congruentes. Chamamos esses ângulos de ângulos da base.

Porém, essa é uma propriedade que parte da definição de triângulo isósceles, portanto, necessita de demonstração.

Essa propriedade traz uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles, isso é, ela diz:

Se um triângulo tem dois lados congruentes, então esse triângulo possui os dois ângulos da base congruentes e é um triângulo isósceles.

Se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então os dois lados opostos a esses ângulos são congruentes e esse é um triângulo isósceles.

Assim, vamos demonstrar que para um triângulo ser isósceles basta ele possuir dois ângulo congruentes ou dois lados congruentes.

Demonstração^[1]

Esse teorema pode ser enunciado de três formas diferentes:

• "Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes."
• "Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes."
• "Todo triângulo isósceles é isoângulo."

Com notação matemática, podemos expressá-lo da seguinte forma:

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longleftrightarrow \quad \triangle {ABC}\quad {\text{é isoângulo}}}$

ou

${\displaystyle \triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \longleftrightarrow \qquad {{\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}}$

Para fazer essa demonstração precisamos mostrar primeiro que ser isósceles implica ser isoângulo.

Assim, partiremos de um triângulos isósceles qualquer e buscaremos provar que este triângulo é congruente a si mesmo, porém havendo uma correspondência nos vértices.

Para isso tomaremos duas vezes ${\displaystyle \triangle {ABC}}$, tendo o cuidado de, em cada vez, alternar a ordem dos vértices da base.

Assim, podemos abstrair e pensar em dois triângulos "distintos": ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ e ${\displaystyle \triangle {ACB}}$.

Tendo isso em mente, percebe-se que ${\displaystyle \triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}}$, pelo caso de congruência ${\displaystyle LAL}$:

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}C}\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AC}}\equiv {\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}}$

Visto que temos, a congruência dos dois triângulos, com isso obtemos que todos seus ângulo correspondentes são congruentes.

Logo: ${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}$

Agora precisamos mostrar que ser isoângulo implica ser isósceles.

Para isso partiremos de um triângulo ${\displaystyle ABC}$ qualquer que seja isoângulo, isto é, que tenha dois ângulos congruentes.

Para facilitar na demonstração, utilizaremos notação matemática com base em um triângulo ${\displaystyle ABC}$.

${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$

Então traçaremos no triângulo ${\displaystyle ABC}$ a sua bissetriz relativa ao vértice ${\displaystyle A}$. À intersecção da bissetriz com o segmento ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ chamaremos de ponto ${\displaystyle M}$.

Assim teremos dois triângulos: ${\displaystyle \triangle {AMB}}$ e ${\displaystyle \triangle {AMC}}$, ficando fácil de verificar a congruência entre esses dois triângulos, pelo caso de congruência, lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.

${\displaystyle {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}M}\equiv {M{\hat {A}}C}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\quad \left(LAA_{o}\right)\qquad \longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}}$.

Com essa congruência, temos a seguinte congruência: ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$.

Assim demonstramos que ser triângulo isósceles implica ser triângulo isoângulo e que ser triângulo isoângulo implica ser triângulo isósceles.

Logo, temos que ser triângulo isósceles é condição necessária e suficiente para ser triângulo isoângulo.

Bissetriz, mediatriz, mediana e altura

Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.^[3]

Esta propriedade pode ser expressa com notação matemática da seguinte forma:

${\displaystyle \triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\quad {\text{e}}\quad {\text{M é ponto médio de}}\quad {\overline {BC}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\qquad {\begin{cases}{\text{é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\text{está contido na mediatriz de }}{\overline {BC}}\\{\text{é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\text{é altura relativa à }}{\overline {BC}}\end{cases}}}$

Demonstração

Como já vimos acima, temos o triângulo isósceles ${\displaystyle ABC}$, onde ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$,${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}$ e ${\displaystyle M}$ é ponto médio de ${\displaystyle {\overline {BC}}}$.

Assim, pela definição de mediana temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é mediana relativa ao lado ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ e ao vértice ${\displaystyle A}$.

Esse segmento ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ divide ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ em dois triângulos congruentes: ${\displaystyle \triangle {AMC}}$ e ${\displaystyle \triangle {AMB}}$.

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LLL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}}$.

Essa congruência dos triângulos implica a congruência ${\displaystyle B{\hat {A}}M\equiv {M{\hat {A}}C}}$. Assim, temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é também bissetriz de ${\displaystyle B{\hat {A}}C}$.

A partir disso temos também a congruência ${\displaystyle B{\hat {M}}A\equiv {C{\hat {M}}A}}$. Porém, temos também que esses ângulos são suplementares.

Assim temos: ${\displaystyle med\left(B{\hat {M}}A\right)+med\left(C{\hat {M}}A\right)=180^{\circ }=2.med\left(B{\hat {M}}A\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(B{\hat {M}}A\right)=90^{\circ }}}$.

Como os ângulos ${\displaystyle B{\hat {M}}A}$ e ${\displaystyle A{\hat {M}}C}$ são ângulos retos, temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é perpendicular à ${\displaystyle {\overline {BC}}}$. Isso nos garante que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é a altura relativa à base ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ e é mediatriz, por ${\displaystyle M}$ ser ponto médio.

Assim temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é bissetriz, mediatriz, mediana e altura relativa à base.

Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro

Como implicação da propriedade anterior, temos que em um triângulo isósceles o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Assim, temos que isso é uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles.

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}},\quad \longleftrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}}$^[4]

Demonstração

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}}$

Primeiramente vamos provar que, se um triângulo é isósceles, então o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Para demonstrar esse teorema partiremos do que foi demonstrado acima.

Assim temos que, se tomarmos a mediana de um triângulo isósceles, temos que essa mediana é também bissetriz, altura relativa e está contida na mediatriz do triângulo.

Isso implica qualquer ponto que pertence à mediana pertence também à bissetriz, à altura relativa e à mediatriz.

Após demonstrar isso precisamos demonstrar a recíproca.

Assim, precisamos demonstrar que:

${\displaystyle \triangle {ABC},{\text{baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são colineares}}\qquad \longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}}}$

Como temos que os quatro pontos notáveis são colineares, daremos nomes a esses pontos como forma de simplificar a notação.

Desse modo temos que ${\displaystyle G{\text{ é baricentro}}}$, ${\displaystyle I{\text{ é incentro}}}$, ${\displaystyle D{\text{ é o circuncentro}}}$ e ${\displaystyle O{\text{ é o ortocentro}}}$.

Para fazer essa demonstração tomaremos uma reta ${\displaystyle r}$ que contém todos esses pontos, ou seja:

${\displaystyle \exists {r}/G,I,D,O\in {r}}$

Com relação a essa reta podemos analisar duas situações em relação ao vértice ${\displaystyle A}$ (sem perda de generalidade):

Ou ${\displaystyle A\in {r}}$ ou ${\displaystyle A\notin {r}}$.

Analisaremos essas duas situações separadamente

Primeira possibilidade: ${\displaystyle A\in {r}}$

Primeiramente, tomaremos um ponto ${\displaystyle M}$, tal que esse ponto seja a intersecção de ${\displaystyle r}$ com ${\displaystyle {\overline {BC}}}$. Assim teremos:

${\displaystyle M/{r\cap {\overline {BC}}=M}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AM}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {G,I,D,O}\in {\overleftrightarrow {AM}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\overline {AM}}{\text{ é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\overline {AM}}{\text{ é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{define altura relatica à }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\end{cases}}}$

A partir dessas relações, podemos chegar a nossa conclusão de várias maneiras.

Sabendo que ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AM}}}$ é mediatriz de ${\displaystyle {\overline {BC}}}$, temos:

${\displaystyle {\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}}$.

Dessas relações, temos a congruência entre os triângulos ${\displaystyle \triangle {ABM}}$ e ${\displaystyle \triangle {ACM}}$:

${\displaystyle {{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}}}$

A partir da congruência dos triângulos temos a congruência de dois lados de ${\displaystyle \triangle {ABC}}$, provando que ele é isósceles.

${\displaystyle \triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \Longrightarrow {\triangle {ABC}{\text{ é isósceles}}}}$.

Segunda possibilidade: ${\displaystyle A\notin {r}}$

Primeiramente tomaremos duas retas, a reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AG}}}$ (reta que passa pelo vértice ${\displaystyle A}$ e pelo baricentro) e a reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AD}}}$ (reta que passa pelo vértice ${\displaystyle A}$ e pelo circuncentro).

Então tomaremos dois pontos, que serão a intersecção dessas retas com o segmento ${\displaystyle {\overline {BC}}}$.

Com esses dois pontos teremos as seguintes implicações:

${\displaystyle H/{\quad {\overleftrightarrow {AG}}\cap {\overline {BC}}=H}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AG}}{\text{ é mediana relativa ao lado }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {H{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{I}})}$

e

${\displaystyle J/{\quad {\overleftrightarrow {AD}}\cap {\overline {BC}}=J}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overleftrightarrow {AJ}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {J{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{II}})}$

De ${\displaystyle \left({\text{I}}\right)}$ e ${\displaystyle \left({\text{II}}\right)}$, e pela propriedade de unicidade do ponto médio temos:

${\displaystyle J=H\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AH}}={\overline {AJ}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AG}}={\overleftrightarrow {AD}}={\overleftrightarrow {GD}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {A\in {r}}}$

Assim chegamos a uma contradição, pois, nesse segundo caso tinhamos por hipótese que ${\displaystyle A\notin {r}}$. Com isso temos que apenas a primeira possibilidade é possível.

Logo, em todo triângulo isósceles, o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares.

Referências