Condiția lanțului ascendent

În matematică condiția lanțului ascendent (în engleză ascending chain condition – ACC)[1] și condiția lanțului descendent (în engleză descending chain condition – DCC)[2] sunt proprietăți privind caracterul finit ale unor structuri algebrice, cea mai mare importanță având-o pentru idealele din anumite inele comutative.[3][4][5] Aceste condiții au jucat un rol important în dezvoltarea teoriei structurii inelelor comutative în lucrările lui David Hilbert, Emmy Noether și Emil Artin.

Condițiile în sine pot fi enunțate într-o formă abstractă, astfel încât să fie valabile pentru orice mulțime parțial ordonată⁠(d). Acest punct de vedere este util în teoria dimensiunilor algebrice abstracte datorită lui Gabriel și Rentschler.

Definiție

Se spune că o mulțime parțial ordonată P satisface condiția lanțului ascendent (ACC) dacă nu există un șir infinit strict ascendent de elemente din P:[6]

a 1 < a 2 < a 3 < ⋯ {\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }

Echivalent, orce șir slab ascendent

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ⋯ , {\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}

de elemente din P se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar[1], ceea ce înseamnă că există un număr întreg pozitiv n astfel încât

a n = a n + 1 = a n + 2 = ⋯ . {\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}

Similar, se spune că P satisface condiția lanțului descendent (DCC) dacă nu există un șir infinit descendent de elemente din P.[6] Echivalent, orice șir slab descendent de elemente din P

a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ ⋯ {\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }

se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar.[2]

Comentarii

  • Admițând axioma alegerii dependente⁠(d), condiția lanțului descendent pe mulțimea parțial ordonată (posibil infinită) P este echivalentă cu faptul că P este bine fondată⁠(d): orice submulțime nevidă din P are un element minim (numit și condiția minimală). O mulțime total ordonată care este bine fondată este o mulțime bine ordonată.
  • Similar, condiția lanțului ascendent este echivalentă pentru o P invers bine fondată (din nou, admițând alegerea dependentă): orice submulțime nevidă din P are un element maxim (numit și condiția maximală).
  • Orice mulțime finită parțial ordonată satisface atât condiția lanțului ascendent cât și cea a lanțului descendent. Prin urmare, este atât bine formată, cât și invers bine formată.

Exemplu

Fie Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}} inelul numerelor întregi. Orice ideal al lui Z {\displaystyle \mathbb {Z} } constă din toți multiplii unui număr n {\displaystyle n} . De exemplu, idealul

I = { … , − 18 , − 12 , − 6 , 0 , 6 , 12 , 18 , … } {\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}

este format din toți multiplii lui 6 {\displaystyle 6} . Fie

J = { … , − 6 , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , … } {\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}

idealul format din toți multiplii lui 2 {\displaystyle 2} . Idealul I {\displaystyle I} este conținut în idealul J {\displaystyle J} , deoarece orice multiplu al lui 6 {\displaystyle 6} este și un multiplu al lui 2 {\displaystyle 2} . La rândul său, idealul J {\displaystyle J} este conținut în idealul { Z } {\displaystyle \{\mathbb {Z} \}} , deoarece fiecare multiplu al lui 2 {\displaystyle 2} este un multiplu al lui 1 {\displaystyle 1} . Totuși, în acest moment nu există un ideal mai mare în { Z } {\displaystyle \{\mathbb {Z} \}} .

În general, dacă I 1 , I 2 , I 3 , … {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots } sunt ideale ale { Z } {\displaystyle \{\mathbb {Z} \}} astfel încât I 1 {\displaystyle I_{1}} să fie conținut în I 2 {\displaystyle I_{2}} , I 2 {\displaystyle I_{2}} este conținut în I 3 {\displaystyle I_{3}} și așa mai departe, atunci există unele n {\displaystyle n} pentru care toate I n = I n + 1 = I n + 2 = ⋯ {\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots } . Adică, după un moment dat, toate idealele sunt egale între ele. Prin urmare, idealele lui { Z } {\displaystyle \{\mathbb {Z} \}} satisfac condiția lanțului ascendent, unde idealele sunt ordonate prin includerea mulțimii. Prin urmare, { Z } {\displaystyle \{\mathbb {Z} \}} este un inel Noetherian⁠(d).

Note

  1. ^ a b Cipu, p. 1
  2. ^ a b Cipu, p. 2
  3. ^ Hazewinkel, Gubareni, Kirichenko, 2004, p. 6, Prop. 1.1.4
  4. ^ raleigh, Katz, 1967, p. 366, Lema 7.1
  5. ^ Jacobson, 2009, pp. 142, 147
  6. ^ a b Hazewinkel, p=580

Bibliografie

  • Mihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02
  • en Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (), Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, ISBN 0-201-00361-9 
  • en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (), Algebras, rings and modules, Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2690-0 
  • en Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer. ISBN 1-55608-010-7. 
  • en Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (), A first course in abstract algebra (ed. 5th), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3 
  • en Jacobson, Nathan (), Basic Algebra I, Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • en „Is the equivalence of the ascending chain condition and the maximum condition equivalent to the axiom of dependent choice?”.