Cuadrică Klein

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol.
Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.
Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.

În matematică dreptele unui spațiu proiectiv⁠(d) tridimensional, S, pot fi privite ca puncte ale unui spațiu proiectiv 5-dimensional, T. În acel 5-spațiu, punctele care reprezintă fiecare dreaptă din S se află pe o cuadrică Q cunoscută sub numele de cuartica Klein.

Dacă spațiul vectorial subiacent al lui S este spațiul vectorial cvadridimensional V, atunci T are ca spațiu vectorial subiacent spațiul vectorial cu 6 dimensiuni pătrat exterior Λ2V din V. Coordonatele dreptei⁠(d) obținute în acest fel sunt cunoscute drept coordonatele Plücker⁠(d).

Aceste coordonate Plücker satisfac ecuația pătratică

p 12 p 34 + p 13 p 42 + p 14 p 23 = 0 {\displaystyle p_{12}p_{34}+p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0}

care definește pe Q, unde

p i j = u i v j − u j v i {\displaystyle p_{ij}=u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i}}

sunt coordonatele dreptei generate de doi vectori u și v.

Spațiul tridimensional S poate fi reconstruit din cuadrica Q: planele conținute în Q se încadrează în două clase de echivalență⁠(d), unde planele din aceeași clasă se întâlnesc într-un punct, iar planele din clase diferite se întâlnesc într-o dreaptă sau în mulțimea vidă. Fie aceste clase C {\displaystyle C} și C ′ {\displaystyle C'} . Geometria lui S este preluată după cum urmează:

  1. Punctele din S sunt planele din C.
  2. Dreptele din S sunt punctele din Q.
  3. Planele din S sunt planele din C'.

Faptul că geometriile lui S și Q sunt izomorfe poate fi explicat prin izomorfismul diagramele Dynkin⁠(d) A3 și D3.

Bibliografie

  • en Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications, page 169, Cambridge University Press ISBN: 978-0-521-48277-6
  • en Arthur Cayley (1873) "On the superlines of a quadric surface in five-dimensional space", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
  • de Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
  • en Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry, volume 1, Interpretation of line coordinates as point coordinates in S5, page 331, Ginn and Company.
  • en Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil Jr. (), Twistor Geometry and Field Theory, Cambridge University Press, Bibcode:1991tgft.book.....W, ISBN 978-0-521-42268-0 .
Portal icon Portal Matematică