Distribuția Gauss

Funcția densitate de probabilitate pentru distribuția normală; linia verde este distribuția normală standard

Distribuția normală este o distribuție de probabilitate continuă. Este numită de asemenea distribuția Gauss deoarece a fost descoperită de către Carl Friedrich Gauss.[1]

Distribuția normală standard (cunoscută,de asemenea, sub numele de distribuție Z) este distribuția normală cu media zero și variația 1 (curbele verzi în imaginea din dreapta). Acesta este adesea numită curba lui Gauss, deoarece graficul densității de probabilitate arată ca un clopot.

Se notează cu: N(μ,σ), unde μ și σ sunt parametrii din funcția de distribuție care va fi descrisă în continuare.

Proprietăți

Bibliografie.[2][3][4][5]

Densitatea de repartiție

f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

Media

M ( X ) {\displaystyle M(X)\,} = ∫ − ∞ ∞ x . f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx} = ∫ − ∞ ∞ x . 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} = μ {\displaystyle \mu }

Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

σ 2 ( X ) = ∫ − ∞ ∞ ( x − M ( X ) ) 2 . f ( x ) d x {\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.f(x)\,dx} = ∫ − ∞ ∞ ( x − M ( X ) ) 2 . 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} = ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) 2 . 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx} = σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

Entropia informațională

H [ f ] = − ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ln ⁡ ( f ( x ) ) d x {\displaystyle H[f]=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx} = − ∫ − ∞ ∞ 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ln ⁡ ( 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) d x {\displaystyle -\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\ln({\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}})\,dx} = ln ⁡ ( σ 2 π e ) {\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!}

Funcția de repartiție cumulativă

Funcția de repartiție cumulativă este funcția

F ( t ) {\displaystyle F(t)} = ∫ − ∞ t f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx} = 1 σ . 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sigma .{\sqrt {2\pi }}}}} ∫ − ∞ t x . e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}x.e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}

Pentru repartiția N(0,1), această funcție este numită "funcția lui Laplace", și este dată de

ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} = 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} ∫ − ∞ t e − x 2 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}

Pentru o repartiție normală oarecare N(μ,σ), se verifică prin schimbarea de variabilă x->(x-μ)/σ că

P ( X < x ) {\displaystyle P(X<x)} = ϕ ( x − μ σ ) {\displaystyle \phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}

Repartiția variabilei (X-μ)/σ

Pornind de la proprietățile operatorilor de medie și dispersie

  • M(X − μ) = M(X)− μ
  • D(X − μ) = D(X)
  • D(X/σ)=(1/σ2) D(X)

se obține că, dacă o variabilă aleatoare este normal repartizată N(μ,σ), atunci variabila aleatoare redusă

X − μ σ {\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}}

este repartizată N(0,1).

Suma a n variabile independente având repartițiile N(μk,σk)

Dacă Xk:N(μk,σk), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci suma lor X1+X2+...+Xn are repartiția:[6]

N ( ∑ k = 1 n μ k , ( ∑ k = 1 n σ k 2 ) ) . {\displaystyle N(\sum _{k=1}^{n}{\mu }_{k},{\sqrt {(}}\sum _{k=1}^{n}{\sigma }_{k}^{2})).}

Ca o consecință imediată a acestui rezultat:

Media aritmetică a n variabile independente având repartiția N(μ,σ)

Dacă Xk:N(μ,σ), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică (X1+X2+...+Xn)/n are repartiția:

N ( μ , σ ( n ) ) {\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{{\sqrt {(}}n)}})}

Teorema limită centrală (Laplace)

Reprezintă una din cele mai puternice și mai utilizate proprietăți ale distribuției Gauss. Teorema este următoarea:

Dacă Xk - sunt variabile aleatoare independente având aceeași medie μ {\displaystyle \mu } și dispersia σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} , atunci limita mediei lor aritmetice (X1+X2+...+Xn)/n atunci cand n − > ∞ {\displaystyle n->\infty } are proprietatea:

1 σ / ( n ) ( X 1 + X 2 + . . . + X n n − μ ) − > N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sigma /{\sqrt {(}}n)}}({\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-\mu )->N(0,1)}

Rezultă că X 1 + X 2 + . . . + X n n {\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}} se aproximează cu N ( μ , σ n ) {\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{n}})} pentru n − > ∞ {\displaystyle n->\infty }

Regula celor 3σ

O variabilă normal repartizată X:N(μ,σ) ia valori semnificative numai în intervalul (μ-3σ,μ+3σ). Într-adevăr, P ( | X − μ | >= 3 σ ) = 1 − P ( | X − μ | < 3 σ ) = 1 − ϕ ( 3 ) = 0 , 0027 {\displaystyle P({|X-\mu |>=3\sigma })=1-P({|X-\mu |<3\sigma })=1-\phi (3)=0,0027} , valoare care în unele situații poate fi neglijată.

Note

  1. ^ Kirkwood, Betty R; Sterne, Jonathan AC (). Essential Medical Statistics. Blackwell Science Ltd. Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (link)
  2. ^ Viorel Petrehuș, Sever-Angel Popescu, Probabilități și statistică, Arhivat în , la Wayback Machine., Universitatea Tehnică de Construcții din București, 2005
  3. ^ „copie arhivă” (PDF). Arhivat din original la . Accesat în . 
  4. ^ Ștefan Balint, Éva Kaslik, Simina Ștefania Mariș, Probabilități (curs), Universitatea de Vest din Timișoara, Arhivat în , la Wayback Machine.
  5. ^ Ariadna Lucia Pletea,Liliana Popa, [math.etti.tuiasi.ro/lpopa/cursTP.pdf/ Teoria probabilităților] (curs, 1999), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași
  6. ^ H. Poincaré-Calcul des probabilités, Gauthiers-Villars,Paris,1912/

Vezi și

Legături externe

  • en Free Area Under the Normal Curve Calculator from Daniel Soper's Free Statistics Calculators website. Computes the cumulative area under the normal curve (i.e., the cumulative probability), given a z-score.
  • en Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution).
  • en GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
  • en Normal Distribution Table
  • en Download free two-way normal distribution calculator
  • en Download free normal distribution fitting software
  • en http://www.pruteanu.ro/704reflec_files/gauss.htm Arhivat în , la Wayback Machine.
Portal icon Portal Matematică