Fie V un spațiu vectorial peste un corp comutativ K. Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație liniară în ambele argumente, adică care satisface condițiile:
pentru orice și orice
Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V, prevăzută cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor, formează un spațiu vectorial peste K numit spațiul dual.
Exemple
Un exemplu important de aplicație biliniară este produsul scalar canonic pe adică aplicația definită prin: pentru orice și
Mai general, orice produs scalar este o formă biliniară: de fapt, un produs scalar abstract real este, prin definiție, orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată (a se vedea mai jos).
Reprezentare matricială
Fie un spațiu vectorialn-dimensional și o bază a lui . Fie x și y doi vectori oarecare și Atunci, expresia formei biliniare g est dată de:
unde s-a notat:
Proprietăți
O formă biliniară se numește:
simetrică dacă
antisimetrică dacă
definită dacă
Dacă corpul comutativ K este complet ordonat — adică dacă există o relație de ordine totală pe K — atunci se numește: