Fracție continuă

În matematică, o fracție continuă este o expresie obținută în urma unui proces iterativ de reprezentare a unui număr ca suma unor numere întregi și inverse ale unor întregi.

Este de forma:

${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+{\frac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}},\!}$

unde ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots \!}$ și ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots \!}$ sunt numere întregi.

Acest tip de fracții au fost considerate pentru prima dată de către Wallis în lucrarea sa, Arithmetica infinitorum din 1653.

Orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \!}$ se poate reprezenta ca o fracție continuă:

${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\ldots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ],\!}$

unde ${\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} \!}$ și ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {N} \!}$ pentru orice ${\displaystyle i\geq 1.\!}$

Numerele raționale se reprezintă ca fracții continue finite, folosind algoritmul lui Euclid. O fracție continuă infinită se numește periodică dacă există numerele naturale nenule ${\displaystyle k,m\!}$ astfel ca ${\displaystyle a_{k+i+j}=a_{k+j},\;\forall i\in \mathbb {N} ,\;\forall j\in \{1,2,\ldots ,m\}.\!}$ În acest caz, fracția continuă se reprezintă sub forma

${\displaystyle {\bigg [}a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k},{\overline {a_{k+1}}},a_{k+2},\ldots ,a_{k+m}{\bigg ]}.\!}$

O rădăcină reală irațională a unui polinom de gradul doi din ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]\!}$ se numește irațională pătratică. Un număr real se reprezintă printr-o fracție continuă dacă și numai dacă este o irațională pătratică (Euler, Lagrange). Dacă ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ,\;r>1,\!}$ nu este un pătrat perfect, atunci:

${\displaystyle {\sqrt {r}}={\bigg [}a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\ldots a_{2},a_{1},2a_{0}}}{\bigg ]},\!}$

(Lagrange, Galois). În particular, dacă ${\displaystyle D\in \mathbb {N} ^{*}\!}$ este liber de pătrate, atunci ${\displaystyle {\sqrt {D}}\!}$ se reprezintă printr-o fracție continuă, având perioada de lungime m, astfel încât primele ${\displaystyle m-1\!}$ câturi parțiale formează un șir palindromic.

Lungimea ${\displaystyle l({\sqrt {D}})\!}$ a perioadei fracției continue care reprezintă pe ${\displaystyle {\sqrt {D}}\!}$ este mai mică decât ${\displaystyle 2D,\!}$ iar câturile parțiale sunt mai mici decât ${\displaystyle 2{\sqrt {D}}\!}$ (Lagrange). Mai recent^[1][2] s-a arătat că ${\displaystyle l({\sqrt {D}})={\mathcal {O}}({\sqrt {D}}\ln D),\!}$ unde simbolul ${\displaystyle {\mathcal {O}}\!}$ înseamnă asimptotic proporțional cu.

Note