Hiperboloid

Nu confundați cu Paraboloid hiperbolic.

Hiperboloid
cu o pânză
Suprafață conică
Hiperboloid
cu două pânze

În matematică, printr-un hiperboloid se înțelege o cuadrică, un anumit fel de suprafață tridimensională, descrisă de ecuația:

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}   (Hiperboloid cu o pânză),

respectiv

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}   (Hiperboloid cu două pânze).

Ambele aceste suprafețe sunt asimptotice la aceeași suprafață conică, pe măsură ce x ori y cresc,

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}

Astfel de suprafețe se numesc hiperboloizi eliptici. Dacă și numai dacă a = b, atunci un hiperboloid eliptic devine un hiperboloid de revoluție.

Coordonate carteziene

Animație prezentând un hiperboloid de revoluție

Coordonatele carteziene pentru hiperboloizi pot fi definite similar coordonatelor sferice, menținând azimutul unghiului θ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta \in [0,2\pi )} , dar schimbând elevația v în funcțiile hiperbolice.

Hiperboloidul cu o suprafață, v ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle v\in (-\infty ,\infty )} devine:

x = a cosh ⁡ v cos ⁡ θ {\displaystyle x=a\cosh v\cos \theta }
y = b cosh ⁡ v sin ⁡ θ {\displaystyle y=b\cosh v\sin \theta }
z = c sinh ⁡ v {\displaystyle z=c\sinh v}

Iar hiperboloidul a două suprafețe, v ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle v\in [0,\infty )} devine:

x = a sinh ⁡ v cos ⁡ θ {\displaystyle x=a\sinh v\cos \theta }
y = b sinh ⁡ v sin ⁡ θ {\displaystyle y=b\sinh v\sin \theta }
z = ± c cosh ⁡ v {\displaystyle z=\pm c\cosh v}

Ecuații generalizate

Generalizat, un hiperboloid arbitrar, centrat în v, este definit de ecuația:

( x − v ) T A ( x − v ) = 1 , {\displaystyle (\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v} )=1,}

în care A este o matrice, iar x și v sunt vectori euclidieni.

Structuri hiperboloidale

Shukhov Hyperboloid tower (1898) în Vyksa

Bibliografie

  • de Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie,Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
  • en David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pages 39–41 Cambridge University Press.
  • en H.S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, page 130, John Wiley & Sons.

Vezi și

Legături externe