Integrală Riemann

În analiza matematică, integrala Riemann constituie prima definiție riguroasă a integralei unei funcții pe un interval. A fost formulată de Bernhard Riemann și se poate aplica pentru funcții continue sau funcții regulate.

Preliminarii

Fie ${\displaystyle [a,b]}$ un interval (închis și mărginit), ${\displaystyle a\leq b.}$ O familie finită de puncte ${\displaystyle d:(x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),}$ astfel că:

${\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{i}\leq x_{i+1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq x_{n}=b}$

se numește diviziune a intervalului ${\displaystyle [a,b].}$ Fiecare din intervalele ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ se numește interval parțial al diviziunii d.

Lungimea celui mai mare interval parțial al unei diviziuni ${\displaystyle d:\;(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{i},x_{i+1},\cdots ,x_{n})}$ se numește norma diviziunii d și se notează:

${\displaystyle \nu (d)=\max _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i}).}$

Definiție

Se spune că funcția f este integrabilă (în sensul lui Riemann) pe intervalul ${\displaystyle [a,b]}$, dacă pentru orice șir de diviziuni ${\displaystyle (d_{n})}$ cu norma tinzând către zero și pentru orice alegere a punctelor intermediare ${\displaystyle \xi _{i},}$ șirurile corespunzătoare ${\displaystyle (\sigma _{d_{n}})}$ de sume integrale au o limită comună I.

Numărul I se numește integrala funcției f pe intervalul ${\displaystyle [a,b]}$ (în sensul lui Riemann) și se notează:

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Notația ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ se citește "integrală de la a la b din f(x)dx".

Proprietăți

${\displaystyle 1^{\circ }.\quad \int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx.}$

${\displaystyle 2^{\circ }.\quad \int _{a}^{a}f(x)dx=0.}$

${\displaystyle 3^{\circ }.\quad \int _{a}^{b}mdx=m(b-a).}$

${\displaystyle 4^{\circ }.\quad \int _{a}^{b}[mf(x)+ng(x)]dx=m\int _{a}^{b}f(x)dx+n\int _{a}^{b}g(x)dx}$   oricare ar fi ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle 5^{\circ }.}$   Dacă f și g sunt integrabile pe [a, b] și dacă ${\displaystyle f(x)\leq g(x),\;\forall x\in [a,b]}$   atunci ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx.}$