Integrală eliptică

Integralele eliptice, introduse în calculul integral de Giulio Fagnano dei Toschi și Leonhard Euler, au apărut cu ocazia calculului lungimii unui arc de elipsă. Sunt integrale de forma

f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)dt\,\!

unde R este o funcție rațională, P este un polinom de gradul 3 sau 4, cu rădăcini simple (nerepetate), iar c este o constantă.

În general, integralele eliptice nu pot fi exprimate sub formă de funcții elementare. Funcțiile eliptice au fost formulate ca funcții inverse ale integralelor eliptice. Teoria integralelor eliptice a fost inițiată din secolul al XVIII-lea^[1].

Apar, printre altele, în probleme aplicative de geografie fizică și matematică la calculul lungimii arcului de meridian între două puncte de pe suprafața Pământului.

Tipuri

Există trei tipuri de integrale eliptice, fiecare divizate în complete și incomplete:

de tipul/speța I
de speța II
de speța III

Această tipizare a fost efectuată de Legendre din 1793. El a analizat în detaliu aceste integrale și a calculat tabele numerice pentru ele ^[2].

Note

^ Mihăileanu, p. 91
^ Mihăileanu, p. 92-93

Bibliografie

Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes (Huzard-Courcier, Paris, 1828)
Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications chapitre II (G. Carré, Paris, 1895)
Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications chapitre VII (Gauthier-Villars, Paris, 1897)
Benjamin Osgood Pierce, A short table of integrals p. 66 (Ginn & co., Boston, MA, 1899)
Nicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii, vol. 2, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981, p. 92-93