La stânga și la dreapta

s a
s b
s c
s d
s e
s f
s g
… 		a t
b t
c t
d t
e t
f t
g t
…
Înmulțire la stânga cu s și înmulțire la drepta cu t. O notație abstractă fără vreun sens particular.

În algebră termenii la stânga și la dreapta[1][2] arată ordinea unei operații binare (de obicei, dar nu întotdeauna, numită „înmulțire”) în structuri algebrice necomutative. O operație binară ∗ {\displaystyle *} este de obicei scrisă în forma infixată:

s ∗ t {\displaystyle s*t}

Argumentul s este plasat în partea stângă, iar argumentul t este în partea dreaptă. Dacă ∗ nu este comutativă, atunci ordinea lui s și t contează, chiar dacă simbolul operației este omis.

O proprietate bilaterală este îndeplinită pe ambele părți. O proprietate unilaterală este legată de una dintre cele două laturi, nespecificat care.

Deși termenii sunt similari, în limbajul algebric distincția la stânga / la dreapta nu este legată nici de limitele la stânga sau la dreapta⁠(d) din analiză, nici cu stânga și dreapta din geometrie.

Operația binară ca operator

O operație binară ∗ {\displaystyle *} poate fi considerată o familie parametrică de operatori unari prin evaluarea succesivă a operatorilor:

R t ( s ) = s ∗ t , {\displaystyle R_{t}(s)=s*t,}

în funcție de t ca parametru – aceasta este familia de operații la dreapta. Similar,

L s ( t ) = s ∗ t {\displaystyle L_{s}(t)=s*t}

definește familia de operații la stânga parametrizate cu s.

Dacă pentru unele e, operația la stânga L e {\displaystyle L_{e}} este operația de identitate, atunci e se numește element neutru la stânga. Similar, dacă R e = i d {\displaystyle R_{e}=id} , atunci e este element neutru la dreapta.

În teoria inelelor⁠(d) un subinel care este invariant⁠(d) pentru orice înmulțire la stânga într-un inel se numește ideal stâng. Similar, un subinel invariant pentru orice înmulțire la dreapta un ideal drept.[3]

Module la stânga și la dreapta

Peste inele necomutative⁠(d), distincția stânga-dreapta se aplică modulelor⁠(d), și anume pentru a specifica partea în care apare un scalar (element de modul) în înmulțirea cu un scalar.

Modul la stânga Modul la dreapta
s(x + y) = sx + sy
(s1 + s2)x = s1x + s2x 
s(tx) = (s t)x 		(x + y)t = xt + yt
 x(t1 + t2) = xt1 + xt2
(xs)t = x(s t)

Distincția nu este pur sintactică, deoarece se obțin două reguli de asociativitate diferite (cele din rândul de jos din tabel) care leagă înmulțirea într-un modul cu înmulțirea într-un inel.

În teoria categoriilor

În teoria categoriilor expresia „la stânga este ca la dreapta” are o oarecare asemănare cu limbajul algebric, dar se referă la partea din stânga, respectiv din dreapta a morfismelor.

Note

  1. ^ Dumitru Bușneag (coord.), Florentina Boboc, Dana Piciu, Aritmetică și teoria numerelor, Craiova: Ed. Universitaria, 1999, ISBN: 973-9271-73-1, p. 184
  2. ^ Alexandru Juncu, Sisteme de ecuații liniare (curs), Universitatea Politehnica din București, accesat 2023-07-10
  3. ^ Horia Florian Abrudan Inele topologice de endomorfisme (rezumat teză de doctorat, 2011), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-07-10

Vezi și

  • Asociativitate

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • en Margherita Barile, right ideal la MathWorld.
  • en Margherita Barile, left ideal la MathWorld.
  • en Eric W. Weisstein, left eigenvector la MathWorld.