Matrice cu toate elementele 1

În algebra liniară, o matrice cu toate elementele 1[1] este o matrice în care fiecare element are valoarea 1.[2] Exemple de astfel de matrici:

J 2 = ( 1 1 1 1 ) ; J 3 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ; J 2 , 5 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ; J 1 , 2 = ( 1 1 ) . {\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }

Unele surse numesc aceste matrici „matrice unitate”,[3], dar acest termen este folosit de obicei pentru matrici de alt tip.

Un vector cu toate elementele 1 este o matrice cu toate elementele 1, având o singură linie sau o singură coloană. Ei nu trebuie confundați cu versorii.

Proprietăți

O matrice J de dimensiuni n × n cu toate elementele 1 are următoarele proprietăți:

  • Urma lui J este egală cu n,[4] și determinantul este 0 pentru n ≥ 2, dar 1 pentru n = 1. (Se poate lua în considerare și cazul n = 0, caz în care este vorba de o matrice vidă, al cărei determinant este 1.)
  • Polinomul caracteristic⁠(d) al J este ( x − n ) x n − 1 {\displaystyle (x-n)x^{n-1}} .
  • Polinomul minimal⁠(d) al J este x 2 − n x {\displaystyle x^{2}-nx} .
  • Rangul matricei J este 1, iar vectorii proprii sunt n (cu multiplicitatea 1) și 0 (cu multiplicitatea n − 1).[4][5]
  • J k = n k − 1 J {\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J} pentru k = 1 , 2 , … . {\displaystyle k=1,2,\ldots \,.} [6]
  • J este elementul neutru pentru produsul Hadamard.[7]

Dacă J este o matrice ale cărei elemente sunt numere reale, acestea au și următoarele proprietăți:

  • J este o matrice pozitivă semidefinită⁠(d).
  • Matricea 1 n J {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J} este idempotentă.[6]
  • Exponențiala⁠(d) lui J este exp ⁡ ( J ) = I + e n − 1 n J . {\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.}

Aplicații

Matricea cu toate elementele 1 apare des în domeniul matematic al combinatoricii, în special prin aplicarea metodelor algebrice la teoria grafurilor. De exemplu, dacă A este matricea de adiacență a unui graf neorientat G cu n noduri, iar J este matricea cu toate elementele 1 de aceeași dimensiune, atunci G este un graf regulat dacă și numai dacă AJ = JA.[8] Un alt exemplu este că matricea apare în unele demonstrații algebrice ale formulei lui Cayley, care oferă numărul arborilor de acoperire⁠(d) ai unui graf complet, folosind teorema lui Kirchhoff⁠(d).

Note

  1. ^ Tiberiu Vasile Trif, Analiză matematică, Cluj-Napoca, Ed. Casa Cărții de Știință, 2017, ISBN: 978-606-17-1102-4, p. 18
  2. ^ Horn, Johnson, 2012, p. 8
  3. ^ en Eric W. Weisstein, Unit Matrix la MathWorld.
  4. ^ a b en Stanley, Richard P. (), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988 .
  5. ^ Horn, Johnson, 2012, p. 65
  6. ^ a b en Timm, Neil H. (), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, p. 30, ISBN 9780387227719 
  7. ^ en Smith, Jonathan D. H. (), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, p. 77, ISBN 9781420063721 .
  8. ^ en Godsil, Chris (), Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310 

Bibliografie

  • en Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (), „0.2.8 The all-ones matrix and vector”, Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402 
Portal icon Portal Matematică