Modul factor

În algebră, fiind date un modul^⁠(d) și un submodul, se poate construi modulul factor al acestora.^[1][2][3] Această construcție, descrisă mai jos, este foarte asemănătoare cu cea a unui spațiu factor^⁠(d) vectorial.^[4] Diferă de construcțiile factor analoage ale inelelor și grupurilor prin faptul că în aceste cazuri subspațiul^⁠(d) care este utilizat pentru definirea factorului nu este de aceeași natură cu spațiul ambiental (adică un inel factor este câtul unui inel printr-un ideal, nu printr-un subinel, iar un grup factor este câtul unui grup printr-un subgrup normal, nu printr-un subgrup general). Fiind dat un modul A peste un inel R și un submodul B al lui A, spațiul factor^⁠(d) A/B este definit de relația de echivalență

${\displaystyle a\sim b\quad }$ dacă și numai dacă ${\displaystyle \quad b-a\in B,}$

pentru orice a, b din A.^[5] Elementele lui A/B sunt clasele de echivalență^⁠(d) ${\displaystyle [a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.}$ Funcția ${\displaystyle \pi :A\to A/B}$ care trimite a din A cu clasa sa de echivalență a + B se numește aplicația factor sau aplicația de proiecție și este un homomorfism de module^⁠(d).

Adunarea pe A/B este definită pentru două clase de echivalență drept clasa de echivalență a sumei a doi reprezentanți din aceste clase. Și înmulțirea scalară a elementelor lui A/B cu elementele lui R este definită similar. De reținut că trebuie arătat că aceste operații sunt bine definite. Atunci A/B devine în sine un R-modul, numit modul factor. În simboluri, pentru orice a, b din A și r din R:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}}$

Exemple

Fie inelul de polinoame^⁠(d), ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ cu coeficienți reali și ${\displaystyle \mathbb {R} [X]{\text{-modulul}}}$ ${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$ . Fie submodulul

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

al lui A, adică submodulul tuturor polinoamelor divizibile cu ${\displaystyle X^{2}+1}$. Rezultă că relația de echivalență determinată de acest modul va fi

${\displaystyle P(X)\sim Q(X)\,}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle P(X)}$ și ${\displaystyle Q(X)}$ dau același rest la împărțirea cu ${\displaystyle X^{2}+1.}$

Prin urmare, în modulul factor ${\displaystyle A/B,}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ este la fel ca 0; astfel încât se poate privi ${\displaystyle A/B}$ așa cum este obținut din ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ punând ${\displaystyle X^{2}+1=0.}$ Acest modul factor este izomorf în numerele complexe ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ privit ca un modul peste numerele reale ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Note

Bibliografie

• en Roman, Steven (2008). Advanced linear algebra (ed. 3rd). New York: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0-387-72828-5. 

Portal Matematică