Număr piramidal pătratic

Reprezentare figurativă (geometrică) a numărului pătrat piramidal 30 = 1 + 4 + 9 + 16

Un număr pătratic piramidal, pătrat perfect piramidal sau număr pătrat piramidal este un număr figurativ care reprezintă numărul de sfere stivuite într-o piramidă cu o bază pătrată. Numerele pătrat piramidale rezolvă, de asemenea, problema numărului de pătrate dintr-o grilă n × n. Numerele piramidale (cu n laturi triunghiulare) sunt adesea confundate cu numerele pătrat piramidale (cu 4 laturi).

Exemple

Primele numere pătrate piramidale sunt:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... [1]

Aceste numere pot fi exprimate prin formula:

P n = ∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 . {\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}

Acesta este un caz special al formulei lui Faulhaber și poate fi dovedit printr-o inducție matematică.[2] O formulă echivalentă este dată în manuscrisul lui Leonardo Fibonacci, Liber Abaci (1202, ch. II.12).

În matematica modernă, numerele figurate sunt formalizate prin polinoame Ehrhart: 

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.[3]

Funcție generatoare exponențială

Funcția generatoare pentru numerele piramidale este:

1 x + 5 x 2 + 14 x 3 + 30 x 4 + 55 x 5 + … = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) 4 . {\displaystyle \mathbf {1} x+\mathbf {5} x^{2}+\mathbf {14} x^{3}+\mathbf {30} x^{4}+\mathbf {55} x^{5}+\ldots ={\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}.}

Relația cu alte numere

Numerele piramidale pătrate pot fi, de asemenea, exprimate ca suma coeficienților binomiali:

P n = ( n + 2 3 ) + ( n + 1 3 ) . {\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}

Coeficienții binomiali care apar în această expresie prezentată sunt numere tetraedrice. Această formulă exprimă numerele piramidale ca suma a două numere, la fel ca orice număr pătratic este suma a două numere triunghiulare consecutive. În această sumă, unul dintre cele două numere tetraedrice reprezintă numărul de sfere din piramida pliată care sunt situate deasupra sau pe o parte a diagonalei bazei pătrate a piramidei; iar al doilea - reprezintă numărul de sfere situate pe cealaltă parte a diagonalei. Numerele piramidale sunt, de asemenea, legate de numerele tetraedrice după cum urmează:[4]:

P n = 1 4 ( 2 n + 2 3 ) . {\displaystyle P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.}

Suma a două numere piramidale consecutive este un număr octaedric.

Note

  1. ^ Șirul A000330 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. ^ Hopcroft, Motwani & Ullman (2007), p. 20
  3. ^ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 15–36, MR 2134759 .
  4. ^ Деза Е., Деза М. 2016.
  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A., ed. (). Handbook of Mathematical Functions. Applied Math. Series. 55. National Bureau of Standards. pp. 813. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Beiler, A. H. (). Recreations in the Theory of NumbersNecesită înregistrare gratuită. Dover. pp. 194. ISBN 0-486-21096-0. 
  • Goldoni, G. (). „A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two”. The Mathematical Intelligencer. 24 (4): 67–69. doi:10.1007/bf03025326. 
  • Sigler, Laurence E. (trans.) (). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 260–261. ISBN 0-387-95419-8. 
  • Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (ed. 3). Pearson/Addison Wesley. ISBN 9780321455369. 

Vezi și

v • d • m
Numere figurative
În plan
În spațiu 3D
În spațiu 4D
necentrate
5D - 8D
necentrate
Vezi și