În matematică, se spune că un șir
este definit printr-o relație de recurență dacă fiecare termen al acestuia poate fi scris ca o funcție de termenii anteriori:
![{\displaystyle a_{n}=f(n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots ,a_{n-k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c56b64ddfd8b3927f3e5d115192706a3b7282c)
Un exemplu de relație de recurență este:
![{\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d88296028cd6a06bd0007ca050d728e7da7447a)
Relația de recurență liniară
Un caz particular îl constituie șirurile ce pot fi definite printr-o recurență liniară finită, care este de forma:
| | |
Acesteia îi corespunde ecuația caracteristică:
| | |
Teorema 1. Dacă
este o soluție a ecuației caracteristice
, atunci șirul
verifică relația de recurență
Teorema 2. Dacă șirurile
îndeplinesc condiția de recurență și sunt liniar independente, atunci orice soluție
se exprimă ca o combinație liniară a șirurilor
adică există
astfel încât:
| | |
Teorema 3. Există k șiruri liniar independente ce verifică relația de recurență.
- Dacă ecuația caracteristică are soluții reale distincte
șirurile sunt:
| | |
- Dacă ecuația caracteristică are soluții reale multiple:
cu ordinul de multiplicitate
cu ordinul de multiplicitate
cu ordinul de multiplicitate
unde
șirurile sunt:
| | |
|
|
|
Una dintre cele mai simple relații de recurență liniară definește „Șirul lui Fibonacci”, în care fiecare termen este egal cu suma celor doi termeni precedenți:
![{\displaystyle F_{0}=0,F_{1}=1,F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2}{\mbox{ pentru }}i\geq 2{\mbox{.}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fd1ac949c333c2662283d07a93254fa4aa41d6)
Control de autoritate | - GND: 4012264-5
- LCCN: sh85037879
- NKC: ph119449
| |
---|