Spațiu Banach

Definiție —  Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Teoremă —  Fie ${\displaystyle \mathbb {K} }$ corp comutativ complet și fie ${\displaystyle p\geq 1.}$ Fie spațiul liniar normat ${\displaystyle \left(\ell _{\mathbb {K} }^{p},\,\|\cdot \|_{p}\right)}$ al șirurilor ${\displaystyle x=\{\alpha _{j}\}_{j=1}^{\infty }}$ din ${\displaystyle \mathbb {K} }$ astfel încât seria ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}|\alpha _{j}|^{p}}$ este convergentă, unde norma este definită de:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{j}|^{p}\right)^{1/p}.}$

Atunci ${\displaystyle \left(\ell _{\mathbb {K} }^{p},\,\|\cdot \|_{p}\right)}$ este spațiu Banach.

Faptul că ${\displaystyle x\mapsto \|x\|_{p}}$ este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ un șir Cauchy din spațiul ${\displaystyle \ell _{\mathbb {K} }^{p},}$ unde ${\displaystyle x_{n}=\{\alpha _{nj}\}_{j=1}^{\infty },}$ și fie ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Atunci există un număr natural ${\displaystyle k_{\varepsilon }}$ astfel încât ${\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|_{p}<\varepsilon }$ pentru orice ${\displaystyle n,m>k_{\varepsilon }}$ — adică ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|^{p}<\varepsilon ^{p}.}$ În particular, pentru orice ${\displaystyle j\geq 1}$, ${\displaystyle |\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|<\varepsilon }$ dacă ${\displaystyle n,m>k_{\varepsilon },}$ de unde rezultă că șirul ${\displaystyle \{\alpha _{nj}\}_{n=1}^{\infty }}$ este Cauchy. Prin complitudinea lui ${\displaystyle \mathbb {K} }$, există ${\displaystyle \textstyle \alpha _{j}=\lim _{n}\alpha _{nj}\in \mathbb {K} .}$ Fie atunci ${\displaystyle x=\{\alpha _{j}\}_{j=1}^{\infty }.}$ Rezultă că pentru orice ${\displaystyle n>k_{\varepsilon },}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{j}|^{p}<\varepsilon ^{p},}$

de unde se deduce că:

1. ${\displaystyle x_{n}-x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p},}$ iar spațiul ${\displaystyle \ell _{\mathbb {K} }^{p}}$ fiind liniar, ${\displaystyle x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p};}$
2. Pentru orice ${\displaystyle n>k_{\varepsilon },}$ ${\displaystyle \|x_{n}-x\|_{p}<\varepsilon .}$

În concluzie, pentru orice șir Cauchy ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, există ${\displaystyle x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}}$ astfel încât ${\displaystyle \textstyle x=\lim _{n}x_{n}}$ — adică spațiul ${\displaystyle \left(\ell _{\mathbb {K} }^{p},\,\|\cdot \|_{p}\right)}$ este complet.

Teoremă —  Oricare subspațiu liniar închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul este complet.

Teoremă —  Dacă ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$ sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs ${\displaystyle \textstyle X=\prod _{k=1}^{n}X_{k}}$ este de asemenea un spațiu Banach.

Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului ${\displaystyle \textstyle X=\prod _{k=1}^{n}X_{k}}$

Fie ${\displaystyle \{x^{m}\}_{m=1}^{\infty }}$ un șir Cauchy din spațiul X, unde ${\displaystyle x^{m}=\left(x_{m1},x_{m2},\cdots ,x_{mn}\right),\;(m=1,2,3,\cdots ).}$

Pentru fiecare ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ există ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ astfel încât ${\displaystyle \|x^{i}-x^{k}\|<\varepsilon ,\;(j,k>N_{\varepsilon }),}$ de unde rezultă că ${\displaystyle \|x_{ji}-x_{ki}<\varepsilon \|,\;(i=1,2,\cdots ,n;\;j,k>N_{\varepsilon }).}$ Atunci există ${\displaystyle x_{i}\in X_{i},\;i=1,2,\cdots ,n,}$ astfel încât ${\displaystyle x_{i}=\lim _{k\to \infty }x_{ki}.}$ Deci ${\displaystyle \|x_{ji}-x_{i}\|\leq \varepsilon \;(i=1,2,\cdots ,n;\;j>N_{\varepsilon }).}$

Se notează ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).}$ În concluzie, oricare ar fi ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ există ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ astfel încât ${\displaystyle \|x^{j}-x\|\leq \varepsilon \;(j>N_{\varepsilon }),}$ adică ${\displaystyle \textstyle \lim _{m\to \infty }x^{m}=x.}$

Teoremă (echivalența spațiilor Banach) —  Dacă normele ${\displaystyle \|\cdot \|^{\prime }}$ și ${\displaystyle \|\cdot \|^{\prime \prime }}$ definite în spațiul liniar L sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat ${\displaystyle (L,\,\|\cdot \|^{\prime })}$ este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat ${\displaystyle (L,\,\|\cdot \|^{\prime \prime })}$ este spațiu Banach.

Fie ${\displaystyle c_{1}>0,\;c_{2}>0}$ două constante alese astfel ca ${\displaystyle \|x\|^{\prime \prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime },\;\|x\|^{\prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime \prime }\;(x\in L).}$ Fie, în continuare, ${\displaystyle N_{1}=(L,\,\|\cdot \|^{\prime })}$ spațiu Banach și ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ un șir Cauchy în ${\displaystyle N_{2}=(L,\,\|\cdot \|^{\prime \prime }).}$ Pentru numărul ${\displaystyle \varepsilon >0}$ există ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ astfel încât pentru orice ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ;\;m,n\geq n_{0}}$ există relația ${\displaystyle \textstyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime \prime }<{\frac {\varepsilon }{c_{2}}}.}$ Se obține ${\displaystyle \textstyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime }<c_{2}\cdot {\frac {\varepsilon }{c_{2}}}=\varepsilon \;(n,m\geq n_{0}).}$ Prin urmare șirul ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ este Cauchy în ${\displaystyle N_{1}}$ și întrucât spațiul ${\displaystyle N_{1}}$ este complet, ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ este convergent în ${\displaystyle N_{1}.}$ Fie ${\displaystyle \textstyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ în ${\displaystyle N_{1},}$ adică ${\displaystyle \|x_{n}-x\|^{\prime }=0.}$ Însă ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|^{\prime \prime }\leq \lim _{n\to \infty }c_{1}\|x_{n}-x\|^{\prime }=0}$ și deci șirul ${\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}$ este convergent în ${\displaystyle N_{2}.}$ În consecință, spațiul ${\displaystyle N_{2}}$ este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele ${\displaystyle \|\cdot \|^{\prime }}$ și ${\displaystyle \|\cdot \|^{\prime \prime }}$ se obține că dacă ${\displaystyle N_{2}}$ este spațiu Banach atunci și ${\displaystyle N_{1}}$ este spațiu Banach.

Teoremă —  Un spațiu liniar normat ${\displaystyle (X,\,\|\cdot \|)}$ este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Fie ${\displaystyle X}$ un spațiu vectorial normat și fie ${\displaystyle \textstyle \sum _{n}x_{n}}$ o serie absolut convergentă. Fie ${\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ și ${\displaystyle \textstyle \sigma _{n}=\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ șirurile sumelor parțiale. Prin inegalitatea triunghiului, ${\displaystyle \|s_{n}-s_{m}\|\leq |\sigma _{n}-\sigma _{m}|.}$

Deci dacă ${\displaystyle \{\sigma _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este șir Cauchy, atunci și ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,}$ adică seria ${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$ este convergentă.

Reciproc, fie ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$un șir Cauchy în X. Atunci există un subșir ${\displaystyle \{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }}$ astfel încât ${\displaystyle \textstyle \|{x_{k}}_{n+1}-x_{k_{n}}\|<2^{-(n+1)}.}$ Rezultă că seria ${\displaystyle \textstyle \sum _{n}\|x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\|}$ este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria ${\displaystyle \textstyle \sum _{n}\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)}$ este convergentă. Se notează ${\displaystyle \textstyle x=x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right).}$ Deoarece:

${\displaystyle x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)=x_{k_{m}},\;\;(m\geq 2),}$

rezultă că subșirul ${\displaystyle \textstyle \{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }}$ al șirului ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este convergent. Prin urmare, șirul ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ este convergent.