Teorema sinusurilor

În geometrie, teorema sinusurilor este o teoremă care stabilește relația dintre valorile laturilor unui triunghi și sinusurile unghiurilor dintre ele.

Enunț

Dacă laturile unui triunghi au lungimile ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ și ${\displaystyle c}$, iar unghiurile care se opun acestora sunt ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ și ${\displaystyle C}$, atunci:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,2R={\frac {a\cdot b\cdot c}{2S}}}$

unde R este raza cercului circumscris triunghiului, iar S aria triunghiului.

Demonstrație

Construim cercul circumscris triunghiului ${\displaystyle ABC}$, la fel ca în figura alăturată.

Conform teoremei unghiului la centru,

${\displaystyle BAC={\frac {BOC}{2}}\,}$

Pe de altă parte, triunghiul ${\displaystyle OBC}$ este triunghi isoscel cu vârful în O, deci înălțimea OA' este și mediană și bisectoare. Rezultă că

${\displaystyle BOA'={\frac {BOC}{2}}=BAC\,}$

Deoarece triunghiul ${\displaystyle OBA'}$ este triunghi dreptunghic cu vârful în A',

${\displaystyle \sin(BOA')={\frac {a}{2R}}\,}$

de unde rezultă că ${\displaystyle \sin(A)={\frac {a}{2R}}=BAC\,}$. Printr-un raționament similar, rezultă că și sinusurile unghiurilor B și C iau aceeași valoare.

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.